Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29290 / 40811
↖ ↑ ↗
← S 40.359102°
W 19.105224°		 ← 465.42 m → S 40.359102°
W 19.099731°		 →
↑
465.47 m
↓
↑
465.47 m
↓
S 40.363288°
W 19.105224°		 ← 465.39 m →
216 630 m²		 S 40.363288°
W 19.099731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446937561035156 y=0.622734069824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446937561035156 × 216)
    floor (0.446937561035156 × 65536)
    floor (29290.5)     		tx = 29290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622734069824219 × 216)
    floor (0.622734069824219 × 65536)
    floor (40811.5)     		ty = 40811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29290 / 40811 ti = "16/29290/40811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29290/40811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29290 ÷ 216
    29290 ÷ 65536     		x = 0.446929931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40811 ÷ 216
    40811 ÷ 65536     		y = 0.622726440429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446929931640625 × 2 - 1) × π
    -0.10614013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33344907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622726440429688 × 2 - 1) × π
    -0.245452880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.771112967288223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33344907} λ = -0.33344907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.771112967288223))-π/2
    2×atan(0.462498036572081)-π/2
    2×0.433198550984334-π/2
    0.866397101968667-1.57079632675     		φ = -0.70439922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33344907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.105224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70439922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.359102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29290 KachelY 40811 -0.33344907 -0.70439922 -19.105224 -40.359102
    Oben rechts KachelX + 1 29291 KachelY 40811 -0.33335320 -0.70439922 -19.099731 -40.359102
    Unten links KachelX 29290 KachelY + 1 40812 -0.33344907 -0.70447228 -19.105224 -40.363288
    Unten rechts KachelX + 1 29291 KachelY + 1 40812 -0.33335320 -0.70447228 -19.099731 -40.363288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70439922--0.70447228) × R
    7.30599999999582e-05 × 6371000     		dl = 465.465259999733m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70439922--0.70447228) × R
    7.30599999999582e-05 × 6371000     		dr = 465.465259999733m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33344907--0.33335320) × cos(-0.70439922) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.762000740056009 × 6371000     		do = 465.420732757149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33344907--0.33335320) × cos(-0.70447228) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.761953426108723 × 6371000     		du = 465.391833976797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70439922)-sin(-0.70447228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.762000740056009-0.761953426108723)×R²
    abs(-0.33335320--0.33344907)×4.73139472855211e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73139472855211e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73139472855211e-05×40589641000000     		ar = 216630.456789235m²