Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29289 / 19641
↖ ↑ ↗
← N 58.283508°
W 19.110718°		 ← 321.13 m → N 58.283508°
W 19.105224°		 →
↑
321.10 m
↓
↑
321.10 m
↓
N 58.280620°
W 19.110718°		 ← 321.16 m →
103 120 m²		 N 58.280620°
W 19.105224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446922302246094 y=0.299705505371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446922302246094 × 216)
    floor (0.446922302246094 × 65536)
    floor (29289.5)     		tx = 29289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299705505371094 × 216)
    floor (0.299705505371094 × 65536)
    floor (19641.5)     		ty = 19641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29289 / 19641 ti = "16/29289/19641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29289/19641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29289 ÷ 216
    29289 ÷ 65536     		x = 0.446914672851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19641 ÷ 216
    19641 ÷ 65536     		y = 0.299697875976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446914672851562 × 2 - 1) × π
    -0.106170654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33354495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299697875976562 × 2 - 1) × π
    0.400604248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.25853536262495
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33354495} λ = -0.33354495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25853536262495))-π/2
    2×atan(3.52026180274803)-π/2
    2×1.29401771834301-π/2
    2.58803543668601-1.57079632675     		φ = 1.01723911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33354495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.110718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01723911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.283508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29289 KachelY 19641 -0.33354495 1.01723911 -19.110718 58.283508
    Oben rechts KachelX + 1 29290 KachelY 19641 -0.33344907 1.01723911 -19.105224 58.283508
    Unten links KachelX 29289 KachelY + 1 19642 -0.33354495 1.01718871 -19.110718 58.280620
    Unten rechts KachelX + 1 29290 KachelY + 1 19642 -0.33344907 1.01718871 -19.105224 58.280620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01723911-1.01718871) × R
    5.0399999999895e-05 × 6371000     		dl = 321.098399999331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01723911-1.01718871) × R
    5.0399999999895e-05 × 6371000     		dr = 321.098399999331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33354495--0.33344907) × cos(1.01723911) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.525716530098841 × 6371000     		do = 321.134720471317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33354495--0.33344907) × cos(1.01718871) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.525759402686067 × 6371000     		du = 321.160909254676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01723911)-sin(1.01718871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.525716530098841-0.525759402686067)×R²
    abs(-0.33344907--0.33354495)×4.28725872260172e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.28725872260172e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.28725872260172e-05×40589641000000     		ar = 103120.049537353m²