Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29288 / 43098
↖ ↑ ↗
← S 49.246293°
W 19.116211°		 ← 398.73 m → S 49.246293°
W 19.110718°		 →
↑
398.76 m
↓
↑
398.76 m
↓
S 49.249879°
W 19.116211°		 ← 398.70 m →
158 991 m²		 S 49.249879°
W 19.110718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446907043457031 y=0.657630920410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446907043457031 × 216)
    floor (0.446907043457031 × 65536)
    floor (29288.5)     		tx = 29288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657630920410156 × 216)
    floor (0.657630920410156 × 65536)
    floor (43098.5)     		ty = 43098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29288 / 43098 ti = "16/29288/43098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29288/43098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29288 ÷ 216
    29288 ÷ 65536     		x = 0.4468994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43098 ÷ 216
    43098 ÷ 65536     		y = 0.657623291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4468994140625 × 2 - 1) × π
    -0.106201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33364082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657623291015625 × 2 - 1) × π
    -0.31524658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.99037634615036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33364082} λ = -0.33364082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.99037634615036))-π/2
    2×atan(0.371436875875912)-π/2
    2×0.355643181948118-π/2
    0.711286363896237-1.57079632675     		φ = -0.85950996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33364082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.116211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85950996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.246293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29288 KachelY 43098 -0.33364082 -0.85950996 -19.116211 -49.246293
    Oben rechts KachelX + 1 29289 KachelY 43098 -0.33354495 -0.85950996 -19.110718 -49.246293
    Unten links KachelX 29288 KachelY + 1 43099 -0.33364082 -0.85957255 -19.116211 -49.249879
    Unten rechts KachelX + 1 29289 KachelY + 1 43099 -0.33354495 -0.85957255 -19.110718 -49.249879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85950996--0.85957255) × R
    6.25899999999735e-05 × 6371000     		dl = 398.760889999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85950996--0.85957255) × R
    6.25899999999735e-05 × 6371000     		dr = 398.760889999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33364082--0.33354495) × cos(-0.85950996) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.652808762980805 × 6371000     		do = 398.727608577496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33364082--0.33354495) × cos(-0.85957255) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.65276134835313 × 6371000     		du = 398.698648302793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85950996)-sin(-0.85957255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652808762980805-0.65276134835313)×R²
    abs(-0.33354495--0.33364082)×4.74146276745468e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74146276745468e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74146276745468e-05×40589641000000     		ar = 158991.202003375m²