Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29287 / 17799
↖ ↑ ↗
← N 63.216305°
W 19.121704°		 ← 275.26 m → N 63.216305°
W 19.116211°		 →
↑
275.29 m
↓
↑
275.29 m
↓
N 63.213830°
W 19.121704°		 ← 275.29 m →
75 781 m²		 N 63.213830°
W 19.116211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446891784667969 y=0.271598815917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446891784667969 × 216)
    floor (0.446891784667969 × 65536)
    floor (29287.5)     		tx = 29287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271598815917969 × 216)
    floor (0.271598815917969 × 65536)
    floor (17799.5)     		ty = 17799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29287 / 17799 ti = "16/29287/17799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29287/17799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29287 ÷ 216
    29287 ÷ 65536     		x = 0.446884155273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17799 ÷ 216
    17799 ÷ 65536     		y = 0.271591186523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446884155273438 × 2 - 1) × π
    -0.106231689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33373670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271591186523438 × 2 - 1) × π
    0.456817626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.43513490082524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33373670} λ = -0.33373670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43513490082524))-π/2
    2×atan(4.20021158258011)-π/2
    2×1.33706449638166-π/2
    2.67412899276332-1.57079632675     		φ = 1.10333267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33373670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.121704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10333267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.216305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29287 KachelY 17799 -0.33373670 1.10333267 -19.121704 63.216305
    Oben rechts KachelX + 1 29288 KachelY 17799 -0.33364082 1.10333267 -19.116211 63.216305
    Unten links KachelX 29287 KachelY + 1 17800 -0.33373670 1.10328946 -19.121704 63.213830
    Unten rechts KachelX + 1 29288 KachelY + 1 17800 -0.33364082 1.10328946 -19.116211 63.213830
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10333267-1.10328946) × R
    4.32099999998492e-05 × 6371000     		dl = 275.290909999039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10333267-1.10328946) × R
    4.32099999998492e-05 × 6371000     		dr = 275.290909999039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33373670--0.33364082) × cos(1.10333267) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.450623507917646 × 6371000     		do = 275.264036734264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33373670--0.33364082) × cos(1.10328946) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.450662081672966 × 6371000     		du = 275.287599569791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10333267)-sin(1.10328946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450623507917646-0.450662081672966)×R²
    abs(-0.33364082--0.33373670)×3.85737553208476e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.85737553208476e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.85737553208476e-05×40589641000000     		ar = 75780.9304916317m²