Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29286 / 43094
↖ ↑ ↗
← S 49.231947°
W 19.127197°		 ← 398.84 m → S 49.231947°
W 19.121704°		 →
↑
398.82 m
↓
↑
398.82 m
↓
S 49.235534°
W 19.127197°		 ← 398.81 m →
159 063 m²		 S 49.235534°
W 19.121704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446876525878906 y=0.657569885253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446876525878906 × 216)
    floor (0.446876525878906 × 65536)
    floor (29286.5)     		tx = 29286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657569885253906 × 216)
    floor (0.657569885253906 × 65536)
    floor (43094.5)     		ty = 43094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29286 / 43094 ti = "16/29286/43094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29286/43094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29286 ÷ 216
    29286 ÷ 65536     		x = 0.446868896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43094 ÷ 216
    43094 ÷ 65536     		y = 0.657562255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446868896484375 × 2 - 1) × π
    -0.10626220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33383257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657562255859375 × 2 - 1) × π
    -0.31512451171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.9899928509534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33383257} λ = -0.33383257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.9899928509534))-π/2
    2×atan(0.371579347450621)-π/2
    2×0.355768374642713-π/2
    0.711536749285426-1.57079632675     		φ = -0.85925958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33383257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.127197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85925958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.231947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29286 KachelY 43094 -0.33383257 -0.85925958 -19.127197 -49.231947
    Oben rechts KachelX + 1 29287 KachelY 43094 -0.33373670 -0.85925958 -19.121704 -49.231947
    Unten links KachelX 29286 KachelY + 1 43095 -0.33383257 -0.85932218 -19.127197 -49.235534
    Unten rechts KachelX + 1 29287 KachelY + 1 43095 -0.33373670 -0.85932218 -19.121704 -49.235534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85925958--0.85932218) × R
    6.26000000000237e-05 × 6371000     		dl = 398.824600000151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85925958--0.85932218) × R
    6.26000000000237e-05 × 6371000     		dr = 398.824600000151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33383257--0.33373670) × cos(-0.85925958) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.652998411062995 × 6371000     		do = 398.843443306701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33383257--0.33373670) × cos(-0.85932218) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.652950999092785 × 6371000     		du = 398.814484655146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85925958)-sin(-0.85932218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652998411062995-0.652950999092785)×R²
    abs(-0.33373670--0.33383257)×4.74119702098541e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74119702098541e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74119702098541e-05×40589641000000     		ar = 159062.802080127m²