Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29286 / 21921
↖ ↑ ↗
← N 75.908835°
W 99.563599°		 ← 74.36 m → N 75.908835°
W 99.560852°		 →
↑
74.35 m
↓
↑
74.35 m
↓
N 75.908167°
W 99.563599°		 ← 74.36 m →
5 529 m²		 N 75.908167°
W 99.560852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.223438262939453 y=0.167247772216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.223438262939453 × 217)
    floor (0.223438262939453 × 131072)
    floor (29286.5)     		tx = 29286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167247772216797 × 217)
    floor (0.167247772216797 × 131072)
    floor (21921.5)     		ty = 21921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29286 / 21921 ti = "17/29286/21921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29286/21921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29286 ÷ 217
    29286 ÷ 131072     		x = 0.223434448242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21921 ÷ 217
    21921 ÷ 131072     		y = 0.167243957519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.223434448242188 × 2 - 1) × π
    -0.553131103515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.73771261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167243957519531 × 2 - 1) × π
    0.665512084960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.09076787692875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73771261} λ = -1.73771261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09076787692875))-π/2
    2×atan(8.09112576831522)-π/2
    2×1.44782771727469-π/2
    2.89565543454939-1.57079632675     		φ = 1.32485911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73771261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.563599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32485911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.908835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29286 KachelY 21921 -1.73771261 1.32485911 -99.563599 75.908835
    Oben rechts KachelX + 1 29287 KachelY 21921 -1.73766467 1.32485911 -99.560852 75.908835
    Unten links KachelX 29286 KachelY + 1 21922 -1.73771261 1.32484744 -99.563599 75.908167
    Unten rechts KachelX + 1 29287 KachelY + 1 21922 -1.73766467 1.32484744 -99.560852 75.908167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32485911-1.32484744) × R
    1.16699999999081e-05 × 6371000     		dl = 74.3495699994148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32485911-1.32484744) × R
    1.16699999999081e-05 × 6371000     		dr = 74.3495699994148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73771261--1.73766467) × cos(1.32485911) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.243465447122048 × 6371000     		do = 74.3606143516337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73771261--1.73766467) × cos(1.32484744) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.243476765950164 × 6371000     		du = 74.3640714130867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32485911)-sin(1.32484744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243465447122048-0.243476765950164)×R²
    abs(-1.73766467--1.73771261)×1.13188281154197e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.13188281154197e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.13188281154197e-05×40589641000000     		ar = 5528.8082174458m²