Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29285 / 43117
↖ ↑ ↗
← S 49.314380°
W 19.132690°		 ← 398.18 m → S 49.314380°
W 19.127197°		 →
↑
398.19 m
↓
↑
398.19 m
↓
S 49.317961°
W 19.132690°		 ← 398.15 m →
158 544 m²		 S 49.317961°
W 19.127197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446861267089844 y=0.657920837402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446861267089844 × 216)
    floor (0.446861267089844 × 65536)
    floor (29285.5)     		tx = 29285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657920837402344 × 216)
    floor (0.657920837402344 × 65536)
    floor (43117.5)     		ty = 43117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29285 / 43117 ti = "16/29285/43117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29285/43117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29285 ÷ 216
    29285 ÷ 65536     		x = 0.446853637695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43117 ÷ 216
    43117 ÷ 65536     		y = 0.657913208007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446853637695312 × 2 - 1) × π
    -0.106292724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33392844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657913208007812 × 2 - 1) × π
    -0.315826416015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.992197948335922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33392844} λ = -0.33392844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.992197948335922))-π/2
    2×atan(0.370760881534329)-π/2
    2×0.355049013197932-π/2
    0.710098026395865-1.57079632675     		φ = -0.86069830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33392844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.132690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86069830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.314380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29285 KachelY 43117 -0.33392844 -0.86069830 -19.132690 -49.314380
    Oben rechts KachelX + 1 29286 KachelY 43117 -0.33383257 -0.86069830 -19.127197 -49.314380
    Unten links KachelX 29285 KachelY + 1 43118 -0.33392844 -0.86076080 -19.132690 -49.317961
    Unten rechts KachelX + 1 29286 KachelY + 1 43118 -0.33383257 -0.86076080 -19.127197 -49.317961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86069830--0.86076080) × R
    6.24999999999654e-05 × 6371000     		dl = 398.187499999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86069830--0.86076080) × R
    6.24999999999654e-05 × 6371000     		dr = 398.187499999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33392844--0.33383257) × cos(-0.86069830) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.651908107673675 × 6371000     		do = 398.177499330915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33392844--0.33383257) × cos(-0.86076080) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.651860712777 × 6371000     		du = 398.148551107665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86069830)-sin(-0.86076080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651908107673675-0.651860712777)×R²
    abs(-0.33383257--0.33392844)×4.7394896675379e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7394896675379e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7394896675379e-05×40589641000000     		ar = 158543.539656162m²