Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29285 / 21922
↖ ↑ ↗
← N 75.908167°
W 99.566345°		 ← 74.36 m → N 75.908167°
W 99.563599°		 →
↑
74.41 m
↓
↑
74.41 m
↓
N 75.907498°
W 99.566345°		 ← 74.37 m →
5 534 m²		 N 75.907498°
W 99.563599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.223430633544922 y=0.167255401611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.223430633544922 × 217)
    floor (0.223430633544922 × 131072)
    floor (29285.5)     		tx = 29285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167255401611328 × 217)
    floor (0.167255401611328 × 131072)
    floor (21922.5)     		ty = 21922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29285 / 21922 ti = "17/29285/21922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29285/21922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29285 ÷ 217
    29285 ÷ 131072     		x = 0.223426818847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21922 ÷ 217
    21922 ÷ 131072     		y = 0.167251586914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.223426818847656 × 2 - 1) × π
    -0.553146362304688 × 3.1415926535     		Λ = -1.73776055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167251586914062 × 2 - 1) × π
    0.665496826171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.09071994002913
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73776055} λ = -1.73776055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09071994002913))-π/2
    2×atan(8.09073791412779)-π/2
    2×1.44782188164963-π/2
    2.89564376329926-1.57079632675     		φ = 1.32484744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73776055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.566345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32484744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.908167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29285 KachelY 21922 -1.73776055 1.32484744 -99.566345 75.908167
    Oben rechts KachelX + 1 29286 KachelY 21922 -1.73771261 1.32484744 -99.563599 75.908167
    Unten links KachelX 29285 KachelY + 1 21923 -1.73776055 1.32483576 -99.566345 75.907498
    Unten rechts KachelX + 1 29286 KachelY + 1 21923 -1.73771261 1.32483576 -99.563599 75.907498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32484744-1.32483576) × R
    1.16800000000694e-05 × 6371000     		dl = 74.4132800004422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32484744-1.32483576) × R
    1.16800000000694e-05 × 6371000     		dr = 74.4132800004422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73776055--1.73771261) × cos(1.32484744) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.243476765950164 × 6371000     		do = 74.3640714130867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73776055--1.73771261) × cos(1.32483576) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.243488094444159 × 6371000     		du = 74.3675314267484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32484744)-sin(1.32483576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243476765950164-0.243488094444159)×R²
    abs(-1.73771261--1.73776055)×1.13284939955993e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.13284939955993e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.13284939955993e-05×40589641000000     		ar = 5533.80320362468m²