Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29282 / 21218
↖ ↑ ↗
← N 76.371325°
W 99.574585°		 ← 71.97 m → N 76.371325°
W 99.571838°		 →
↑
71.99 m
↓
↑
71.99 m
↓
N 76.370678°
W 99.574585°		 ← 71.97 m →
5 181 m²		 N 76.370678°
W 99.571838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.223407745361328 y=0.161884307861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.223407745361328 × 217)
    floor (0.223407745361328 × 131072)
    floor (29282.5)     		tx = 29282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161884307861328 × 217)
    floor (0.161884307861328 × 131072)
    floor (21218.5)     		ty = 21218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29282 / 21218 ti = "17/29282/21218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29282/21218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29282 ÷ 217
    29282 ÷ 131072     		x = 0.223403930664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21218 ÷ 217
    21218 ÷ 131072     		y = 0.161880493164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.223403930664062 × 2 - 1) × π
    -0.553192138671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.73790436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161880493164062 × 2 - 1) × π
    0.676239013671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.12446751736165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73790436} λ = -1.73790436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12446751736165))-π/2
    2×atan(8.36844025238778)-π/2
    2×1.45186370278439-π/2
    2.90372740556878-1.57079632675     		φ = 1.33293108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73790436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.574585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33293108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.371325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29282 KachelY 21218 -1.73790436 1.33293108 -99.574585 76.371325
    Oben rechts KachelX + 1 29283 KachelY 21218 -1.73785642 1.33293108 -99.571838 76.371325
    Unten links KachelX 29282 KachelY + 1 21219 -1.73790436 1.33291978 -99.574585 76.370678
    Unten rechts KachelX + 1 29283 KachelY + 1 21219 -1.73785642 1.33291978 -99.571838 76.370678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33293108-1.33291978) × R
    1.12999999999364e-05 × 6371000     		dl = 71.9922999995946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33293108-1.33291978) × R
    1.12999999999364e-05 × 6371000     		dr = 71.9922999995946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73790436--1.73785642) × cos(1.33293108) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.235628519521432 × 6371000     		do = 71.9670149398906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73790436--1.73785642) × cos(1.33291978) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.235639501334521 × 6371000     		du = 71.9703690682799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33293108)-sin(1.33291978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235628519521432-0.235639501334521)×R²
    abs(-1.73785642--1.73790436)×1.09818130892558e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.09818130892558e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.09818130892558e-05×40589641000000     		ar = 5181.19166531406m²