Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29281 / 41948
↖ ↑ ↗
← S 44.949249°
W 19.154663°		 ← 432.32 m → S 44.949249°
W 19.149170°		 →
↑
432.27 m
↓
↑
432.27 m
↓
S 44.953137°
W 19.154663°		 ← 432.29 m →
186 874 m²		 S 44.953137°
W 19.149170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446800231933594 y=0.640083312988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446800231933594 × 216)
    floor (0.446800231933594 × 65536)
    floor (29281.5)     		tx = 29281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640083312988281 × 216)
    floor (0.640083312988281 × 65536)
    floor (41948.5)     		ty = 41948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29281 / 41948 ti = "16/29281/41948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29281/41948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29281 ÷ 216
    29281 ÷ 65536     		x = 0.446792602539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41948 ÷ 216
    41948 ÷ 65536     		y = 0.64007568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446792602539062 × 2 - 1) × π
    -0.106414794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33431194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64007568359375 × 2 - 1) × π
    -0.2801513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.880121477024231
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33431194} λ = -0.33431194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.880121477024231))-π/2
    2×atan(0.414732528148051)-π/2
    2×0.393141965405341-π/2
    0.786283930810683-1.57079632675     		φ = -0.78451240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33431194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.154663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78451240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.949249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29281 KachelY 41948 -0.33431194 -0.78451240 -19.154663 -44.949249
    Oben rechts KachelX + 1 29282 KachelY 41948 -0.33421606 -0.78451240 -19.149170 -44.949249
    Unten links KachelX 29281 KachelY + 1 41949 -0.33431194 -0.78458025 -19.154663 -44.953137
    Unten rechts KachelX + 1 29282 KachelY + 1 41949 -0.33421606 -0.78458025 -19.149170 -44.953137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78451240--0.78458025) × R
    6.78499999999804e-05 × 6371000     		dl = 432.272349999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78451240--0.78458025) × R
    6.78499999999804e-05 × 6371000     		dr = 432.272349999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33431194--0.33421606) × cos(-0.78451240) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.707732833019741 × 6371000     		do = 432.319648494669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33431194--0.33421606) × cos(-0.78458025) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.707684896710866 × 6371000     		du = 432.290366529446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78451240)-sin(-0.78458025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707732833019741-0.707684896710866)×R²
    abs(-0.33421606--0.33431194)×4.79363088754514e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79363088754514e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79363088754514e-05×40589641000000     		ar = 186873.501585823m²