Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29278 / 21222
↖ ↑ ↗
← N 76.368736°
W 99.585571°		 ← 71.98 m → N 76.368736°
W 99.582825°		 →
↑
71.93 m
↓
↑
71.93 m
↓
N 76.368089°
W 99.585571°		 ← 71.98 m →
5 178 m²		 N 76.368089°
W 99.582825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.223377227783203 y=0.161914825439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.223377227783203 × 217)
    floor (0.223377227783203 × 131072)
    floor (29278.5)     		tx = 29278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161914825439453 × 217)
    floor (0.161914825439453 × 131072)
    floor (21222.5)     		ty = 21222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29278 / 21222 ti = "17/29278/21222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29278/21222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29278 ÷ 217
    29278 ÷ 131072     		x = 0.223373413085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21222 ÷ 217
    21222 ÷ 131072     		y = 0.161911010742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.223373413085938 × 2 - 1) × π
    -0.553253173828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.73809611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161911010742188 × 2 - 1) × π
    0.676177978515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.12427576976317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73809611} λ = -1.73809611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12427576976317))-π/2
    2×atan(8.36683577789834)-π/2
    2×1.45184111007792-π/2
    2.90368222015583-1.57079632675     		φ = 1.33288589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73809611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.585571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33288589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.368736°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29278 KachelY 21222 -1.73809611 1.33288589 -99.585571 76.368736
    Oben rechts KachelX + 1 29279 KachelY 21222 -1.73804817 1.33288589 -99.582825 76.368736
    Unten links KachelX 29278 KachelY + 1 21223 -1.73809611 1.33287460 -99.585571 76.368089
    Unten rechts KachelX + 1 29279 KachelY + 1 21223 -1.73804817 1.33287460 -99.582825 76.368089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33288589-1.33287460) × R
    1.12899999999971e-05 × 6371000     		dl = 71.9285899999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33288589-1.33287460) × R
    1.12899999999971e-05 × 6371000     		dr = 71.9285899999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73809611--1.73804817) × cos(1.33288589) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.235672436874925 × 6371000     		do = 71.9804284304135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73809611--1.73804817) × cos(1.33287460) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.235683408849379 × 6371000     		du = 71.9837795538303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33288589)-sin(1.33287460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235672436874925-0.235683408849379)×R²
    abs(-1.73804817--1.73809611)×1.09719744534331e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.09719744534331e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.09719744534331e-05×40589641000000     		ar = 5177.57124538045m²