Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29278 / 14818
↖ ↑ ↗
← N 69.714298°
W 19.171143°		 ← 211.76 m → N 69.714298°
W 19.165650°		 →
↑
211.77 m
↓
↑
211.77 m
↓
N 69.712394°
W 19.171143°		 ← 211.78 m →
44 847 m²		 N 69.712394°
W 19.165650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446754455566406 y=0.226112365722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446754455566406 × 216)
    floor (0.446754455566406 × 65536)
    floor (29278.5)     		tx = 29278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226112365722656 × 216)
    floor (0.226112365722656 × 65536)
    floor (14818.5)     		ty = 14818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29278 / 14818 ti = "16/29278/14818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29278/14818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29278 ÷ 216
    29278 ÷ 65536     		x = 0.446746826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14818 ÷ 216
    14818 ÷ 65536     		y = 0.226104736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446746826171875 × 2 - 1) × π
    -0.10650634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33459956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226104736328125 × 2 - 1) × π
    0.54779052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.72093469636002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33459956} λ = -0.33459956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72093469636002))-π/2
    2×atan(5.58975074294624)-π/2
    2×1.39377018185679-π/2
    2.78754036371358-1.57079632675     		φ = 1.21674404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33459956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.171143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21674404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.714298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29278 KachelY 14818 -0.33459956 1.21674404 -19.171143 69.714298
    Oben rechts KachelX + 1 29279 KachelY 14818 -0.33450369 1.21674404 -19.165650 69.714298
    Unten links KachelX 29278 KachelY + 1 14819 -0.33459956 1.21671080 -19.171143 69.712394
    Unten rechts KachelX + 1 29279 KachelY + 1 14819 -0.33450369 1.21671080 -19.165650 69.712394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21674404-1.21671080) × R
    3.32400000000455e-05 × 6371000     		dl = 211.77204000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21674404-1.21671080) × R
    3.32400000000455e-05 × 6371000     		dr = 211.77204000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33459956--0.33450369) × cos(1.21674404) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.346701589313707 × 6371000     		do = 211.76109059237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33459956--0.33450369) × cos(1.21671080) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.346732767427244 × 6371000     		du = 211.78013380281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21674404)-sin(1.21671080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346701589313707-0.346732767427244)×R²
    abs(-0.33450369--0.33459956)×3.11781135366451e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.11781135366451e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.11781135366451e-05×40589641000000     		ar = 44847.0945613852m²