Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29270 / 43043
↖ ↑ ↗
← S 49.048670°
W 19.215088°		 ← 400.32 m → S 49.048670°
W 19.209595°		 →
↑
400.29 m
↓
↑
400.29 m
↓
S 49.052270°
W 19.215088°		 ← 400.29 m →
160 239 m²		 S 49.052270°
W 19.209595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446632385253906 y=0.656791687011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446632385253906 × 216)
    floor (0.446632385253906 × 65536)
    floor (29270.5)     		tx = 29270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656791687011719 × 216)
    floor (0.656791687011719 × 65536)
    floor (43043.5)     		ty = 43043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29270 / 43043 ti = "16/29270/43043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29270/43043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29270 ÷ 216
    29270 ÷ 65536     		x = 0.446624755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43043 ÷ 216
    43043 ÷ 65536     		y = 0.656784057617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446624755859375 × 2 - 1) × π
    -0.10675048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33536655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656784057617188 × 2 - 1) × π
    -0.313568115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.985103287192154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33536655} λ = -0.33536655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.985103287192154))-π/2
    2×atan(0.373400657439372)-π/2
    2×0.357367770188978-π/2
    0.714735540377956-1.57079632675     		φ = -0.85606079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33536655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.215088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85606079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.048670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29270 KachelY 43043 -0.33536655 -0.85606079 -19.215088 -49.048670
    Oben rechts KachelX + 1 29271 KachelY 43043 -0.33527068 -0.85606079 -19.209595 -49.048670
    Unten links KachelX 29270 KachelY + 1 43044 -0.33536655 -0.85612362 -19.215088 -49.052270
    Unten rechts KachelX + 1 29271 KachelY + 1 43044 -0.33527068 -0.85612362 -19.209595 -49.052270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85606079--0.85612362) × R
    6.28299999999582e-05 × 6371000     		dl = 400.289929999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85606079--0.85612362) × R
    6.28299999999582e-05 × 6371000     		dr = 400.289929999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33536655--0.33527068) × cos(-0.85606079) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.655417699393546 × 6371000     		do = 400.321115031106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33536655--0.33527068) × cos(-0.85612362) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.65537024469934 × 6371000     		du = 400.292130284255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85606079)-sin(-0.85612362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655417699393546-0.65537024469934)×R²
    abs(-0.33527068--0.33536655)×4.74546942065279e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74546942065279e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74546942065279e-05×40589641000000     		ar = 160238.710014876m²