Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29269 / 43199
↖ ↑ ↗
← S 49.607151°
W 19.220581°		 ← 395.81 m → S 49.607151°
W 19.215088°		 →
↑
395.77 m
↓
↑
395.77 m
↓
S 49.610710°
W 19.220581°		 ← 395.78 m →
156 641 m²		 S 49.610710°
W 19.215088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446617126464844 y=0.659172058105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446617126464844 × 216)
    floor (0.446617126464844 × 65536)
    floor (29269.5)     		tx = 29269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659172058105469 × 216)
    floor (0.659172058105469 × 65536)
    floor (43199.5)     		ty = 43199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29269 / 43199 ti = "16/29269/43199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29269/43199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29269 ÷ 216
    29269 ÷ 65536     		x = 0.446609497070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43199 ÷ 216
    43199 ÷ 65536     		y = 0.659164428710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446609497070312 × 2 - 1) × π
    -0.106781005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33546242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659164428710938 × 2 - 1) × π
    -0.318328857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.00005959987361
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33546242} λ = -0.33546242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00005959987361))-π/2
    2×atan(0.367857516256612)-π/2
    2×0.352494110239509-π/2
    0.704988220479019-1.57079632675     		φ = -0.86580811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33546242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.220581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86580811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.607151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29269 KachelY 43199 -0.33546242 -0.86580811 -19.220581 -49.607151
    Oben rechts KachelX + 1 29270 KachelY 43199 -0.33536655 -0.86580811 -19.215088 -49.607151
    Unten links KachelX 29269 KachelY + 1 43200 -0.33546242 -0.86587023 -19.220581 -49.610710
    Unten rechts KachelX + 1 29270 KachelY + 1 43200 -0.33536655 -0.86587023 -19.215088 -49.610710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86580811--0.86587023) × R
    6.21199999999433e-05 × 6371000     		dl = 395.766519999639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86580811--0.86587023) × R
    6.21199999999433e-05 × 6371000     		dr = 395.766519999639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33546242--0.33536655) × cos(-0.86580811) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.648024855265496 × 6371000     		do = 395.805656252176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33546242--0.33536655) × cos(-0.86587023) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.647977542231262 × 6371000     		du = 395.776758029504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86580811)-sin(-0.86587023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648024855265496-0.647977542231262)×R²
    abs(-0.33536655--0.33546242)×4.73130342345529e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73130342345529e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73130342345529e-05×40589641000000     		ar = 156640.908746901m²