Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29269 / 40583
↖ ↑ ↗
← S 39.398000°
W 19.220581°		 ← 471.99 m → S 39.398000°
W 19.215088°		 →
↑
472.03 m
↓
↑
472.03 m
↓
S 39.402245°
W 19.220581°		 ← 471.96 m →
222 785 m²		 S 39.402245°
W 19.215088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446617126464844 y=0.619255065917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446617126464844 × 216)
    floor (0.446617126464844 × 65536)
    floor (29269.5)     		tx = 29269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619255065917969 × 216)
    floor (0.619255065917969 × 65536)
    floor (40583.5)     		ty = 40583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29269 / 40583 ti = "16/29269/40583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29269/40583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29269 ÷ 216
    29269 ÷ 65536     		x = 0.446609497070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40583 ÷ 216
    40583 ÷ 65536     		y = 0.619247436523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446609497070312 × 2 - 1) × π
    -0.106781005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33546242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619247436523438 × 2 - 1) × π
    -0.238494873046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.749253741061478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33546242} λ = -0.33546242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.749253741061478))-π/2
    2×atan(0.472719192067016)-π/2
    2×0.441585757585974-π/2
    0.883171515171947-1.57079632675     		φ = -0.68762481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33546242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.220581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68762481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.398000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29269 KachelY 40583 -0.33546242 -0.68762481 -19.220581 -39.398000
    Oben rechts KachelX + 1 29270 KachelY 40583 -0.33536655 -0.68762481 -19.215088 -39.398000
    Unten links KachelX 29269 KachelY + 1 40584 -0.33546242 -0.68769890 -19.220581 -39.402245
    Unten rechts KachelX + 1 29270 KachelY + 1 40584 -0.33536655 -0.68769890 -19.215088 -39.402245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68762481--0.68769890) × R
    7.40900000000266e-05 × 6371000     		dl = 472.02739000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68762481--0.68769890) × R
    7.40900000000266e-05 × 6371000     		dr = 472.02739000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33546242--0.33536655) × cos(-0.68762481) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.772755734823588 × 6371000     		do = 471.989752027601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33546242--0.33536655) × cos(-0.68769890) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.772708707517946 × 6371000     		du = 471.961028324458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68762481)-sin(-0.68769890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772755734823588-0.772708707517946)×R²
    abs(-0.33536655--0.33546242)×4.7027305642322e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7027305642322e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7027305642322e-05×40589641000000     		ar = 222785.311671226m²