Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29267 / 40788
↖ ↑ ↗
← S 40.262761°
W 19.231567°		 ← 466.09 m → S 40.262761°
W 19.226074°		 →
↑
466.10 m
↓
↑
466.10 m
↓
S 40.266952°
W 19.231567°		 ← 466.06 m →
217 237 m²		 S 40.266952°
W 19.226074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446586608886719 y=0.622383117675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446586608886719 × 216)
    floor (0.446586608886719 × 65536)
    floor (29267.5)     		tx = 29267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622383117675781 × 216)
    floor (0.622383117675781 × 65536)
    floor (40788.5)     		ty = 40788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29267 / 40788 ti = "16/29267/40788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29267/40788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29267 ÷ 216
    29267 ÷ 65536     		x = 0.446578979492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40788 ÷ 216
    40788 ÷ 65536     		y = 0.62237548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446578979492188 × 2 - 1) × π
    -0.106842041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33565417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62237548828125 × 2 - 1) × π
    -0.2447509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.768907869905701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33565417} λ = -0.33565417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.768907869905701))-π/2
    2×atan(0.463519015046724)-π/2
    2×0.43403929363796-π/2
    0.868078587275919-1.57079632675     		φ = -0.70271774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33565417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.231567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70271774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.262761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29267 KachelY 40788 -0.33565417 -0.70271774 -19.231567 -40.262761
    Oben rechts KachelX + 1 29268 KachelY 40788 -0.33555830 -0.70271774 -19.226074 -40.262761
    Unten links KachelX 29267 KachelY + 1 40789 -0.33565417 -0.70279090 -19.231567 -40.266952
    Unten rechts KachelX + 1 29268 KachelY + 1 40789 -0.33555830 -0.70279090 -19.226074 -40.266952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70271774--0.70279090) × R
    7.31600000000165e-05 × 6371000     		dl = 466.102360000105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70271774--0.70279090) × R
    7.31600000000165e-05 × 6371000     		dr = 466.102360000105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33565417--0.33555830) × cos(-0.70271774) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.763088548659665 × 6371000     		do = 466.085152948363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33565417--0.33555830) × cos(-0.70279090) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.763041263752318 × 6371000     		du = 466.05627190525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70271774)-sin(-0.70279090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763088548659665-0.763041263752318)×R²
    abs(-0.33555830--0.33565417)×4.72849073477333e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72849073477333e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72849073477333e-05×40589641000000     		ar = 217236.659086202m²