Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29267 / 19531
↖ ↑ ↗
← N 58.599749°
W 19.231567°		 ← 318.23 m → N 58.599749°
W 19.226074°		 →
↑
318.30 m
↓
↑
318.30 m
↓
N 58.596886°
W 19.231567°		 ← 318.25 m →
101 295 m²		 N 58.596886°
W 19.226074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446586608886719 y=0.298027038574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446586608886719 × 216)
    floor (0.446586608886719 × 65536)
    floor (29267.5)     		tx = 29267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298027038574219 × 216)
    floor (0.298027038574219 × 65536)
    floor (19531.5)     		ty = 19531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29267 / 19531 ti = "16/29267/19531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29267/19531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29267 ÷ 216
    29267 ÷ 65536     		x = 0.446578979492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19531 ÷ 216
    19531 ÷ 65536     		y = 0.298019409179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446578979492188 × 2 - 1) × π
    -0.106842041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33565417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298019409179688 × 2 - 1) × π
    0.403961181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.26908148054137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33565417} λ = -0.33565417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26908148054137))-π/2
    2×atan(3.55758335163435)-π/2
    2×1.2967774410311-π/2
    2.59355488206219-1.57079632675     		φ = 1.02275856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33565417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.231567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02275856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.599749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29267 KachelY 19531 -0.33565417 1.02275856 -19.231567 58.599749
    Oben rechts KachelX + 1 29268 KachelY 19531 -0.33555830 1.02275856 -19.226074 58.599749
    Unten links KachelX 29267 KachelY + 1 19532 -0.33565417 1.02270860 -19.231567 58.596886
    Unten rechts KachelX + 1 29268 KachelY + 1 19532 -0.33555830 1.02270860 -19.226074 58.596886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02275856-1.02270860) × R
    4.99599999999045e-05 × 6371000     		dl = 318.295159999392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02275856-1.02270860) × R
    4.99599999999045e-05 × 6371000     		dr = 318.295159999392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33565417--0.33555830) × cos(1.02275856) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.521013371812368 × 6371000     		do = 318.22859550945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33565417--0.33555830) × cos(1.02270860) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.521056014445903 × 6371000     		du = 318.254641108494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02275856)-sin(1.02270860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521013371812368-0.521056014445903)×R²
    abs(-0.33555830--0.33565417)×4.26426335352614e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.26426335352614e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.26426335352614e-05×40589641000000     		ar = 101294.766839326m²