Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29266 / 19534
↖ ↑ ↗
← N 58.591161°
W 19.237060°		 ← 318.31 m → N 58.591161°
W 19.231567°		 →
↑
318.30 m
↓
↑
318.30 m
↓
N 58.588299°
W 19.237060°		 ← 318.33 m →
101 320 m²		 N 58.588299°
W 19.231567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446571350097656 y=0.298072814941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446571350097656 × 216)
    floor (0.446571350097656 × 65536)
    floor (29266.5)     		tx = 29266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298072814941406 × 216)
    floor (0.298072814941406 × 65536)
    floor (19534.5)     		ty = 19534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29266 / 19534 ti = "16/29266/19534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29266/19534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29266 ÷ 216
    29266 ÷ 65536     		x = 0.446563720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19534 ÷ 216
    19534 ÷ 65536     		y = 0.298065185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446563720703125 × 2 - 1) × π
    -0.10687255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33575004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298065185546875 × 2 - 1) × π
    0.40386962890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.26879385914365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33575004} λ = -0.33575004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26879385914365))-π/2
    2×atan(3.55656026167658)-π/2
    2×1.29670250453565-π/2
    2.59340500907129-1.57079632675     		φ = 1.02260868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33575004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.237060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02260868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.591161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29266 KachelY 19534 -0.33575004 1.02260868 -19.237060 58.591161
    Oben rechts KachelX + 1 29267 KachelY 19534 -0.33565417 1.02260868 -19.231567 58.591161
    Unten links KachelX 29266 KachelY + 1 19535 -0.33575004 1.02255872 -19.237060 58.588299
    Unten rechts KachelX + 1 29267 KachelY + 1 19535 -0.33565417 1.02255872 -19.231567 58.588299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02260868-1.02255872) × R
    4.99600000001266e-05 × 6371000     		dl = 318.295160000806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02260868-1.02255872) × R
    4.99600000001266e-05 × 6371000     		dr = 318.295160000806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33575004--0.33565417) × cos(1.02260868) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.521141295811197 × 6371000     		do = 318.306729923609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33575004--0.33565417) × cos(1.02255872) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.521183934542744 × 6371000     		du = 318.332773139366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02260868)-sin(1.02255872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521141295811197-0.521183934542744)×R²
    abs(-0.33565417--0.33575004)×4.26387315463073e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.26387315463073e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.26387315463073e-05×40589641000000     		ar = 101319.636266354m²