Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29264 / 40794
↖ ↑ ↗
← S 40.287907°
W 19.248047°		 ← 465.91 m → S 40.287907°
W 19.242554°		 →
↑
465.91 m
↓
↑
465.91 m
↓
S 40.292097°
W 19.248047°		 ← 465.88 m →
217 067 m²		 S 40.292097°
W 19.242554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446540832519531 y=0.622474670410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446540832519531 × 216)
    floor (0.446540832519531 × 65536)
    floor (29264.5)     		tx = 29264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622474670410156 × 216)
    floor (0.622474670410156 × 65536)
    floor (40794.5)     		ty = 40794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29264 / 40794 ti = "16/29264/40794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29264/40794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29264 ÷ 216
    29264 ÷ 65536     		x = 0.446533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40794 ÷ 216
    40794 ÷ 65536     		y = 0.622467041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446533203125 × 2 - 1) × π
    -0.10693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33594179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622467041015625 × 2 - 1) × π
    -0.24493408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.769483112701141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33594179} λ = -0.33594179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.769483112701141))-π/2
    2×atan(0.463252455748277)-π/2
    2×0.433819853843712-π/2
    0.867639707687424-1.57079632675     		φ = -0.70315662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33594179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.248047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70315662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.287907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29264 KachelY 40794 -0.33594179 -0.70315662 -19.248047 -40.287907
    Oben rechts KachelX + 1 29265 KachelY 40794 -0.33584592 -0.70315662 -19.242554 -40.287907
    Unten links KachelX 29264 KachelY + 1 40795 -0.33594179 -0.70322975 -19.248047 -40.292097
    Unten rechts KachelX + 1 29265 KachelY + 1 40795 -0.33584592 -0.70322975 -19.242554 -40.292097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70315662--0.70322975) × R
    7.31299999999768e-05 × 6371000     		dl = 465.911229999852m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70315662--0.70322975) × R
    7.31299999999768e-05 × 6371000     		dr = 465.911229999852m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33594179--0.33584592) × cos(-0.70315662) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.762804829689582 × 6371000     		do = 465.911860871319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33594179--0.33584592) × cos(-0.70322975) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.762757539686486 × 6371000     		du = 465.882976715785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70315662)-sin(-0.70322975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.762804829689582-0.762757539686486)×R²
    abs(-0.33584592--0.33594179)×4.72900030951129e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72900030951129e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72900030951129e-05×40589641000000     		ar = 217066.839540354m²