Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29263 / 40535
↖ ↑ ↗
← S 39.193948°
W 19.253540°		 ← 473.42 m → S 39.193948°
W 19.248047°		 →
↑
473.37 m
↓
↑
473.37 m
↓
S 39.198205°
W 19.253540°		 ← 473.39 m →
224 092 m²		 S 39.198205°
W 19.248047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446525573730469 y=0.618522644042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446525573730469 × 216)
    floor (0.446525573730469 × 65536)
    floor (29263.5)     		tx = 29263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618522644042969 × 216)
    floor (0.618522644042969 × 65536)
    floor (40535.5)     		ty = 40535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29263 / 40535 ti = "16/29263/40535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29263/40535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29263 ÷ 216
    29263 ÷ 65536     		x = 0.446517944335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40535 ÷ 216
    40535 ÷ 65536     		y = 0.618515014648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446517944335938 × 2 - 1) × π
    -0.106964111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33603767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618515014648438 × 2 - 1) × π
    -0.237030029296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.744651798697952
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33603767} λ = -0.33603767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.744651798697952))-π/2
    2×atan(0.474899631823996)-π/2
    2×0.443366441810788-π/2
    0.886732883621575-1.57079632675     		φ = -0.68406344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33603767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.253540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68406344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.193948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29263 KachelY 40535 -0.33603767 -0.68406344 -19.253540 -39.193948
    Oben rechts KachelX + 1 29264 KachelY 40535 -0.33594179 -0.68406344 -19.248047 -39.193948
    Unten links KachelX 29263 KachelY + 1 40536 -0.33603767 -0.68413774 -19.253540 -39.198205
    Unten rechts KachelX + 1 29264 KachelY + 1 40536 -0.33594179 -0.68413774 -19.248047 -39.198205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68406344--0.68413774) × R
    7.43000000000826e-05 × 6371000     		dl = 473.365300000526m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68406344--0.68413774) × R
    7.43000000000826e-05 × 6371000     		dr = 473.365300000526m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33603767--0.33594179) × cos(-0.68406344) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.77501124360225 × 6371000     		do = 473.416765171039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33603767--0.33594179) × cos(-0.68413774) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.774964287767965 × 6371000     		du = 473.388082130171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68406344)-sin(-0.68413774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.77501124360225-0.774964287767965)×R²
    abs(-0.33594179--0.33603767)×4.69558342852672e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.69558342852672e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.69558342852672e-05×40589641000000     		ar = 224092.280395549m²