Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29263 / 18025
↖ ↑ ↗
← N 62.651440°
W 19.253540°		 ← 280.63 m → N 62.651440°
W 19.248047°		 →
↑
280.64 m
↓
↑
280.64 m
↓
N 62.648916°
W 19.253540°		 ← 280.65 m →
78 759 m²		 N 62.648916°
W 19.248047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446525573730469 y=0.275047302246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446525573730469 × 216)
    floor (0.446525573730469 × 65536)
    floor (29263.5)     		tx = 29263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275047302246094 × 216)
    floor (0.275047302246094 × 65536)
    floor (18025.5)     		ty = 18025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29263 / 18025 ti = "16/29263/18025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29263/18025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29263 ÷ 216
    29263 ÷ 65536     		x = 0.446517944335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18025 ÷ 216
    18025 ÷ 65536     		y = 0.275039672851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446517944335938 × 2 - 1) × π
    -0.106964111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33603767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.275039672851562 × 2 - 1) × π
    0.449920654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.41346742219698
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33603767} λ = -0.33603767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41346742219698))-π/2
    2×atan(4.11018246211115)-π/2
    2×1.3321351169663-π/2
    2.6642702339326-1.57079632675     		φ = 1.09347391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33603767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.253540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09347391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.651440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29263 KachelY 18025 -0.33603767 1.09347391 -19.253540 62.651440
    Oben rechts KachelX + 1 29264 KachelY 18025 -0.33594179 1.09347391 -19.248047 62.651440
    Unten links KachelX 29263 KachelY + 1 18026 -0.33603767 1.09342986 -19.253540 62.648916
    Unten rechts KachelX + 1 29264 KachelY + 1 18026 -0.33594179 1.09342986 -19.248047 62.648916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09347391-1.09342986) × R
    4.40499999998512e-05 × 6371000     		dl = 280.642549999052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09347391-1.09342986) × R
    4.40499999998512e-05 × 6371000     		dr = 280.642549999052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33603767--0.33594179) × cos(1.09347391) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.459402520320361 × 6371000     		do = 280.626709453401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33603767--0.33594179) × cos(1.09342986) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.459441646326574 × 6371000     		du = 280.650609632203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09347391)-sin(1.09342986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459402520320361-0.459441646326574)×R²
    abs(-0.33594179--0.33603767)×3.9126006212753e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.9126006212753e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.9126006212753e-05×40589641000000     		ar = 78759.1490550635m²