Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29262 / 19544
↖ ↑ ↗
← N 58.562523°
W 19.259033°		 ← 318.57 m → N 58.562523°
W 19.253540°		 →
↑
318.61 m
↓
↑
318.61 m
↓
N 58.559657°
W 19.259033°		 ← 318.59 m →
101 504 m²		 N 58.559657°
W 19.253540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446510314941406 y=0.298225402832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446510314941406 × 216)
    floor (0.446510314941406 × 65536)
    floor (29262.5)     		tx = 29262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298225402832031 × 216)
    floor (0.298225402832031 × 65536)
    floor (19544.5)     		ty = 19544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29262 / 19544 ti = "16/29262/19544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29262/19544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29262 ÷ 216
    29262 ÷ 65536     		x = 0.446502685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19544 ÷ 216
    19544 ÷ 65536     		y = 0.2982177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446502685546875 × 2 - 1) × π
    -0.10699462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33613354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2982177734375 × 2 - 1) × π
    0.403564453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.26783512115125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33613354} λ = -0.33613354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26783512115125))-π/2
    2×atan(3.55315208626613)-π/2
    2×1.29645258333149-π/2
    2.59290516666299-1.57079632675     		φ = 1.02210884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33613354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.259033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02210884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.562523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29262 KachelY 19544 -0.33613354 1.02210884 -19.259033 58.562523
    Oben rechts KachelX + 1 29263 KachelY 19544 -0.33603767 1.02210884 -19.253540 58.562523
    Unten links KachelX 29262 KachelY + 1 19545 -0.33613354 1.02205883 -19.259033 58.559657
    Unten rechts KachelX + 1 29263 KachelY + 1 19545 -0.33603767 1.02205883 -19.253540 58.559657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02210884-1.02205883) × R
    5.00100000000447e-05 × 6371000     		dl = 318.613710000285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02210884-1.02205883) × R
    5.00100000000447e-05 × 6371000     		dr = 318.613710000285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33613354--0.33603767) × cos(1.02210884) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.521567829344844 × 6371000     		do = 318.567251389271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33613354--0.33603767) × cos(1.02205883) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.521610497715775 × 6371000     		du = 318.593312708402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02210884)-sin(1.02205883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521567829344844-0.521610497715775)×R²
    abs(-0.33603767--0.33613354)×4.26683709315867e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.26683709315867e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.26683709315867e-05×40589641000000     		ar = 101504.045617678m²