Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29262 / 18731
↖ ↑ ↗
← N 60.815460°
W 19.259033°		 ← 297.83 m → N 60.815460°
W 19.253540°		 →
↑
297.91 m
↓
↑
297.91 m
↓
N 60.812781°
W 19.259033°		 ← 297.86 m →
88 731 m²		 N 60.812781°
W 19.253540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446510314941406 y=0.285820007324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446510314941406 × 216)
    floor (0.446510314941406 × 65536)
    floor (29262.5)     		tx = 29262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.285820007324219 × 216)
    floor (0.285820007324219 × 65536)
    floor (18731.5)     		ty = 18731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29262 / 18731 ti = "16/29262/18731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29262/18731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29262 ÷ 216
    29262 ÷ 65536     		x = 0.446502685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18731 ÷ 216
    18731 ÷ 65536     		y = 0.285812377929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446502685546875 × 2 - 1) × π
    -0.10699462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33613354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.285812377929688 × 2 - 1) × π
    0.428375244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.34578051993346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33613354} λ = -0.33613354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34578051993346))-π/2
    2×atan(3.84118349114088)-π/2
    2×1.31611316596362-π/2
    2.63222633192724-1.57079632675     		φ = 1.06143001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33613354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.259033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06143001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.815460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29262 KachelY 18731 -0.33613354 1.06143001 -19.259033 60.815460
    Oben rechts KachelX + 1 29263 KachelY 18731 -0.33603767 1.06143001 -19.253540 60.815460
    Unten links KachelX 29262 KachelY + 1 18732 -0.33613354 1.06138325 -19.259033 60.812781
    Unten rechts KachelX + 1 29263 KachelY + 1 18732 -0.33603767 1.06138325 -19.253540 60.812781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06143001-1.06138325) × R
    4.67600000000346e-05 × 6371000     		dl = 297.90796000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06143001-1.06138325) × R
    4.67600000000346e-05 × 6371000     		dr = 297.90796000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33613354--0.33603767) × cos(1.06143001) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.48762410536822 × 6371000     		do = 297.834839916094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33613354--0.33603767) × cos(1.06138325) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.487664928825287 × 6371000     		du = 297.859774384399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06143001)-sin(1.06138325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.48762410536822-0.487664928825287)×R²
    abs(-0.33603767--0.33613354)×4.08234570666299e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.08234570666299e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.08234570666299e-05×40589641000000     		ar = 88731.0836809237m²