Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29262 / 18022
↖ ↑ ↗
← N 62.659009°
W 19.259033°		 ← 280.53 m → N 62.659009°
W 19.253540°		 →
↑
280.52 m
↓
↑
280.52 m
↓
N 62.656487°
W 19.259033°		 ← 280.55 m →
78 695 m²		 N 62.656487°
W 19.253540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446510314941406 y=0.275001525878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446510314941406 × 216)
    floor (0.446510314941406 × 65536)
    floor (29262.5)     		tx = 29262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275001525878906 × 216)
    floor (0.275001525878906 × 65536)
    floor (18022.5)     		ty = 18022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29262 / 18022 ti = "16/29262/18022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29262/18022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29262 ÷ 216
    29262 ÷ 65536     		x = 0.446502685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18022 ÷ 216
    18022 ÷ 65536     		y = 0.274993896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446502685546875 × 2 - 1) × π
    -0.10699462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33613354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274993896484375 × 2 - 1) × π
    0.45001220703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.4137550435947
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33613354} λ = -0.33613354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4137550435947))-π/2
    2×atan(4.11136480856171)-π/2
    2×1.33220117552552-π/2
    2.66440235105104-1.57079632675     		φ = 1.09360602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33613354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.259033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09360602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.659009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29262 KachelY 18022 -0.33613354 1.09360602 -19.259033 62.659009
    Oben rechts KachelX + 1 29263 KachelY 18022 -0.33603767 1.09360602 -19.253540 62.659009
    Unten links KachelX 29262 KachelY + 1 18023 -0.33613354 1.09356199 -19.259033 62.656487
    Unten rechts KachelX + 1 29263 KachelY + 1 18023 -0.33603767 1.09356199 -19.253540 62.656487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09360602-1.09356199) × R
    4.40299999999727e-05 × 6371000     		dl = 280.515129999826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09360602-1.09356199) × R
    4.40299999999727e-05 × 6371000     		dr = 280.515129999826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33613354--0.33603767) × cos(1.09360602) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.459285172485027 × 6371000     		do = 280.525766296189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33613354--0.33603767) × cos(1.09356199) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.459324283399107 × 6371000     		du = 280.549654764182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09360602)-sin(1.09356199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459285172485027-0.459324283399107)×R²
    abs(-0.33603767--0.33613354)×3.91109140801538e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.91109140801538e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.91109140801538e-05×40589641000000     		ar = 78695.0723519254m²