Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29262 / 14202
↖ ↑ ↗
← N 70.855485°
W 19.259033°		 ← 200.31 m → N 70.855485°
W 19.253540°		 →
↑
200.37 m
↓
↑
200.37 m
↓
N 70.853683°
W 19.259033°		 ← 200.33 m →
40 137 m²		 N 70.853683°
W 19.253540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446510314941406 y=0.216712951660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446510314941406 × 216)
    floor (0.446510314941406 × 65536)
    floor (29262.5)     		tx = 29262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216712951660156 × 216)
    floor (0.216712951660156 × 65536)
    floor (14202.5)     		ty = 14202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29262 / 14202 ti = "16/29262/14202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29262/14202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29262 ÷ 216
    29262 ÷ 65536     		x = 0.446502685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14202 ÷ 216
    14202 ÷ 65536     		y = 0.216705322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446502685546875 × 2 - 1) × π
    -0.10699462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33613354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216705322265625 × 2 - 1) × π
    0.56658935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.77999295669193
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33613354} λ = -0.33613354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77999295669193))-π/2
    2×atan(5.92981465293263)-π/2
    2×1.40372891250956-π/2
    2.80745782501912-1.57079632675     		φ = 1.23666150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33613354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.259033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23666150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.855485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29262 KachelY 14202 -0.33613354 1.23666150 -19.259033 70.855485
    Oben rechts KachelX + 1 29263 KachelY 14202 -0.33603767 1.23666150 -19.253540 70.855485
    Unten links KachelX 29262 KachelY + 1 14203 -0.33613354 1.23663005 -19.259033 70.853683
    Unten rechts KachelX + 1 29263 KachelY + 1 14203 -0.33603767 1.23663005 -19.253540 70.853683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23666150-1.23663005) × R
    3.14500000000439e-05 × 6371000     		dl = 200.36795000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23666150-1.23663005) × R
    3.14500000000439e-05 × 6371000     		dr = 200.36795000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33613354--0.33603767) × cos(1.23666150) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.327951968435409 × 6371000     		do = 200.30905146777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33613354--0.33603767) × cos(1.23663005) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.327981678912045 × 6371000     		du = 200.32719826354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23666150)-sin(1.23663005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327951968435409-0.327981678912045)×R²
    abs(-0.33603767--0.33613354)×2.97104766362466e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.97104766362466e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.97104766362466e-05×40589641000000     		ar = 40137.3320304651m²