Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29259 / 43079
↖ ↑ ↗
← S 49.178112°
W 19.275513°		 ← 399.28 m → S 49.178112°
W 19.270020°		 →
↑
399.33 m
↓
↑
399.33 m
↓
S 49.181704°
W 19.275513°		 ← 399.25 m →
159 440 m²		 S 49.181704°
W 19.270020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446464538574219 y=0.657341003417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446464538574219 × 216)
    floor (0.446464538574219 × 65536)
    floor (29259.5)     		tx = 29259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657341003417969 × 216)
    floor (0.657341003417969 × 65536)
    floor (43079.5)     		ty = 43079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29259 / 43079 ti = "16/29259/43079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29259/43079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29259 ÷ 216
    29259 ÷ 65536     		x = 0.446456909179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43079 ÷ 216
    43079 ÷ 65536     		y = 0.657333374023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446456909179688 × 2 - 1) × π
    -0.107086181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33642116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657333374023438 × 2 - 1) × π
    -0.314666748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.988554743964798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33642116} λ = -0.33642116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.988554743964798))-π/2
    2×atan(0.372114102732501)-π/2
    2×0.356238171160455-π/2
    0.71247634232091-1.57079632675     		φ = -0.85831998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33642116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.275513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85831998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.178112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29259 KachelY 43079 -0.33642116 -0.85831998 -19.275513 -49.178112
    Oben rechts KachelX + 1 29260 KachelY 43079 -0.33632529 -0.85831998 -19.270020 -49.178112
    Unten links KachelX 29259 KachelY + 1 43080 -0.33642116 -0.85838266 -19.275513 -49.181704
    Unten rechts KachelX + 1 29260 KachelY + 1 43080 -0.33632529 -0.85838266 -19.270020 -49.181704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85831998--0.85838266) × R
    6.26799999999816e-05 × 6371000     		dl = 399.334279999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85831998--0.85838266) × R
    6.26799999999816e-05 × 6371000     		dr = 399.334279999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33642116--0.33632529) × cos(-0.85831998) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.653709737486184 × 6371000     		do = 399.277912786463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33642116--0.33632529) × cos(-0.85838266) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.653662303401283 × 6371000     		du = 399.248940627525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85831998)-sin(-0.85838266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653709737486184-0.653662303401283)×R²
    abs(-0.33632529--0.33642116)×4.74340849001553e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74340849001553e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74340849001553e-05×40589641000000     		ar = 159439.57308644m²