Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29259 / 18015
↖ ↑ ↗
← N 62.676665°
W 19.275513°		 ← 280.36 m → N 62.676665°
W 19.270020°		 →
↑
280.39 m
↓
↑
280.39 m
↓
N 62.674144°
W 19.275513°		 ← 280.38 m →
78 612 m²		 N 62.674144°
W 19.270020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446464538574219 y=0.274894714355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446464538574219 × 216)
    floor (0.446464538574219 × 65536)
    floor (29259.5)     		tx = 29259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274894714355469 × 216)
    floor (0.274894714355469 × 65536)
    floor (18015.5)     		ty = 18015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29259 / 18015 ti = "16/29259/18015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29259/18015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29259 ÷ 216
    29259 ÷ 65536     		x = 0.446456909179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18015 ÷ 216
    18015 ÷ 65536     		y = 0.274887084960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446456909179688 × 2 - 1) × π
    -0.107086181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33642116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274887084960938 × 2 - 1) × π
    0.450225830078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.41442616018938
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33642116} λ = -0.33642116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41442616018938))-π/2
    2×atan(4.11412493979286)-π/2
    2×1.33235524654336-π/2
    2.66471049308671-1.57079632675     		φ = 1.09391417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33642116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.275513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09391417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.676665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29259 KachelY 18015 -0.33642116 1.09391417 -19.275513 62.676665
    Oben rechts KachelX + 1 29260 KachelY 18015 -0.33632529 1.09391417 -19.270020 62.676665
    Unten links KachelX 29259 KachelY + 1 18016 -0.33642116 1.09387016 -19.275513 62.674144
    Unten rechts KachelX + 1 29260 KachelY + 1 18016 -0.33632529 1.09387016 -19.270020 62.674144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09391417-1.09387016) × R
    4.40099999998722e-05 × 6371000     		dl = 280.387709999186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09391417-1.09387016) × R
    4.40099999998722e-05 × 6371000     		dr = 280.387709999186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33642116--0.33632529) × cos(1.09391417) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.459011424465642 × 6371000     		do = 280.358564353887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33642116--0.33632529) × cos(1.09387016) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.459050523841437 × 6371000     		du = 280.382445774437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09391417)-sin(1.09387016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459011424465642-0.459050523841437)×R²
    abs(-0.33632529--0.33642116)×3.90993757950486e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.90993757950486e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.90993757950486e-05×40589641000000     		ar = 78612.4438787403m²