Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29258 / 43081
↖ ↑ ↗
← S 49.185294°
W 19.281006°		 ← 399.26 m → S 49.185294°
W 19.275513°		 →
↑
399.21 m
↓
↑
399.21 m
↓
S 49.188884°
W 19.281006°		 ← 399.23 m →
159 382 m²		 S 49.188884°
W 19.275513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446449279785156 y=0.657371520996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446449279785156 × 216)
    floor (0.446449279785156 × 65536)
    floor (29258.5)     		tx = 29258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657371520996094 × 216)
    floor (0.657371520996094 × 65536)
    floor (43081.5)     		ty = 43081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29258 / 43081 ti = "16/29258/43081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29258/43081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29258 ÷ 216
    29258 ÷ 65536     		x = 0.446441650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43081 ÷ 216
    43081 ÷ 65536     		y = 0.657363891601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446441650390625 × 2 - 1) × π
    -0.10711669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33651704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657363891601562 × 2 - 1) × π
    -0.314727783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.988746491563278
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33651704} λ = -0.33651704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.988746491563278))-π/2
    2×atan(0.37204275758729)-π/2
    2×0.356175502071692-π/2
    0.712351004143383-1.57079632675     		φ = -0.85844532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33651704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.281006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85844532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.185294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29258 KachelY 43081 -0.33651704 -0.85844532 -19.281006 -49.185294
    Oben rechts KachelX + 1 29259 KachelY 43081 -0.33642116 -0.85844532 -19.275513 -49.185294
    Unten links KachelX 29258 KachelY + 1 43082 -0.33651704 -0.85850798 -19.281006 -49.188884
    Unten rechts KachelX + 1 29259 KachelY + 1 43082 -0.33642116 -0.85850798 -19.275513 -49.188884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85844532--0.85850798) × R
    6.26599999999922e-05 × 6371000     		dl = 399.20685999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85844532--0.85850798) × R
    6.26599999999922e-05 × 6371000     		dr = 399.20685999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33651704--0.33642116) × cos(-0.85844532) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.653614881884833 × 6371000     		do = 399.261617949345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33651704--0.33642116) × cos(-0.85850798) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.65356745780211 × 6371000     		du = 399.232648878226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85844532)-sin(-0.85850798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653614881884833-0.65356745780211)×R²
    abs(-0.33642116--0.33651704)×4.74240827229577e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.74240827229577e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.74240827229577e-05×40589641000000     		ar = 159382.194546558m²