Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29258 / 18761
↖ ↑ ↗
← N 60.735001°
W 19.281006°		 ← 298.61 m → N 60.735001°
W 19.275513°		 →
↑
298.61 m
↓
↑
298.61 m
↓
N 60.732315°
W 19.281006°		 ← 298.64 m →
89 173 m²		 N 60.732315°
W 19.275513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446449279785156 y=0.286277770996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446449279785156 × 216)
    floor (0.446449279785156 × 65536)
    floor (29258.5)     		tx = 29258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.286277770996094 × 216)
    floor (0.286277770996094 × 65536)
    floor (18761.5)     		ty = 18761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29258 / 18761 ti = "16/29258/18761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29258/18761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29258 ÷ 216
    29258 ÷ 65536     		x = 0.446441650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18761 ÷ 216
    18761 ÷ 65536     		y = 0.286270141601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446441650390625 × 2 - 1) × π
    -0.10711669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33651704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.286270141601562 × 2 - 1) × π
    0.427459716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.34290430595625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33651704} λ = -0.33651704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34290430595625))-π/2
    2×atan(3.8301512985733)-π/2
    2×1.31541102935923-π/2
    2.63082205871845-1.57079632675     		φ = 1.06002573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33651704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.281006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06002573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.735001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29258 KachelY 18761 -0.33651704 1.06002573 -19.281006 60.735001
    Oben rechts KachelX + 1 29259 KachelY 18761 -0.33642116 1.06002573 -19.275513 60.735001
    Unten links KachelX 29258 KachelY + 1 18762 -0.33651704 1.05997886 -19.281006 60.732315
    Unten rechts KachelX + 1 29259 KachelY + 1 18762 -0.33642116 1.05997886 -19.275513 60.732315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06002573-1.05997886) × R
    4.68700000000322e-05 × 6371000     		dl = 298.608770000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06002573-1.05997886) × R
    4.68700000000322e-05 × 6371000     		dr = 298.608770000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33651704--0.33642116) × cos(1.06002573) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.488849635992145 × 6371000     		do = 298.61452364324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33651704--0.33642116) × cos(1.05997886) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.488890523346185 × 6371000     		du = 298.639499743968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06002573)-sin(1.05997886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.488849635992145-0.488890523346185)×R²
    abs(-0.33642116--0.33651704)×4.0887354040009e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.0887354040009e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.0887354040009e-05×40589641000000     		ar = 89172.644667006m²