Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29258 / 18075
↖ ↑ ↗
← N 62.524992°
W 19.281006°		 ← 281.82 m → N 62.524992°
W 19.275513°		 →
↑
281.79 m
↓
↑
281.79 m
↓
N 62.522458°
W 19.281006°		 ← 281.85 m →
79 418 m²		 N 62.522458°
W 19.275513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446449279785156 y=0.275810241699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446449279785156 × 216)
    floor (0.446449279785156 × 65536)
    floor (29258.5)     		tx = 29258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275810241699219 × 216)
    floor (0.275810241699219 × 65536)
    floor (18075.5)     		ty = 18075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29258 / 18075 ti = "16/29258/18075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29258/18075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29258 ÷ 216
    29258 ÷ 65536     		x = 0.446441650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18075 ÷ 216
    18075 ÷ 65536     		y = 0.275802612304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446441650390625 × 2 - 1) × π
    -0.10711669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33651704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.275802612304688 × 2 - 1) × π
    0.448394775390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.40867373223497
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33651704} λ = -0.33651704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40867373223497))-π/2
    2×atan(4.0905266712242)-π/2
    2×1.33103165368216-π/2
    2.66206330736433-1.57079632675     		φ = 1.09126698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33651704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.281006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09126698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.524992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29258 KachelY 18075 -0.33651704 1.09126698 -19.281006 62.524992
    Oben rechts KachelX + 1 29259 KachelY 18075 -0.33642116 1.09126698 -19.275513 62.524992
    Unten links KachelX 29258 KachelY + 1 18076 -0.33651704 1.09122275 -19.281006 62.522458
    Unten rechts KachelX + 1 29259 KachelY + 1 18076 -0.33642116 1.09122275 -19.275513 62.522458
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09126698-1.09122275) × R
    4.42300000000895e-05 × 6371000     		dl = 281.78933000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09126698-1.09122275) × R
    4.42300000000895e-05 × 6371000     		dr = 281.78933000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33651704--0.33642116) × cos(1.09126698) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.461361657408202 × 6371000     		do = 281.823451243032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33651704--0.33642116) × cos(1.09122275) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.461400898350852 × 6371000     		du = 281.847421630926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09126698)-sin(1.09122275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461361657408202-0.461400898350852)×R²
    abs(-0.33642116--0.33651704)×3.92409426500651e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.92409426500651e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.92409426500651e-05×40589641000000     		ar = 79418.2188170939m²