Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29258 / 14226
↖ ↑ ↗
← N 70.812202°
W 19.281006°		 ← 200.77 m → N 70.812202°
W 19.275513°		 →
↑
200.75 m
↓
↑
200.75 m
↓
N 70.810396°
W 19.281006°		 ← 200.78 m →
40 306 m²		 N 70.810396°
W 19.275513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446449279785156 y=0.217079162597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446449279785156 × 216)
    floor (0.446449279785156 × 65536)
    floor (29258.5)     		tx = 29258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217079162597656 × 216)
    floor (0.217079162597656 × 65536)
    floor (14226.5)     		ty = 14226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29258 / 14226 ti = "16/29258/14226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29258/14226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29258 ÷ 216
    29258 ÷ 65536     		x = 0.446441650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14226 ÷ 216
    14226 ÷ 65536     		y = 0.217071533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446441650390625 × 2 - 1) × π
    -0.10711669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33651704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217071533203125 × 2 - 1) × π
    0.56585693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.77769198551016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33651704} λ = -0.33651704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77769198551016))-π/2
    2×atan(5.91618600587814)-π/2
    2×1.40335119815644-π/2
    2.80670239631288-1.57079632675     		φ = 1.23590607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33651704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.281006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23590607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.812202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29258 KachelY 14226 -0.33651704 1.23590607 -19.281006 70.812202
    Oben rechts KachelX + 1 29259 KachelY 14226 -0.33642116 1.23590607 -19.275513 70.812202
    Unten links KachelX 29258 KachelY + 1 14227 -0.33651704 1.23587456 -19.281006 70.810396
    Unten rechts KachelX + 1 29259 KachelY + 1 14227 -0.33642116 1.23587456 -19.275513 70.810396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23590607-1.23587456) × R
    3.15099999999013e-05 × 6371000     		dl = 200.750209999371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23590607-1.23587456) × R
    3.15099999999013e-05 × 6371000     		dr = 200.750209999371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33651704--0.33642116) × cos(1.23590607) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.328665525280022 × 6371000     		do = 200.765822542263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33651704--0.33642116) × cos(1.23587456) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.328695284622418 × 6371000     		du = 200.78400108061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23590607)-sin(1.23587456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328665525280022-0.328695284622418)×R²
    abs(-0.33642116--0.33651704)×2.97593423961295e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.97593423961295e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.97593423961295e-05×40589641000000     		ar = 40305.6057121136m²