Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29257 / 40795
↖ ↑ ↗
← S 40.292097°
W 19.286499°		 ← 465.88 m → S 40.292097°
W 19.281006°		 →
↑
465.91 m
↓
↑
465.91 m
↓
S 40.296287°
W 19.286499°		 ← 465.85 m →
217 053 m²		 S 40.296287°
W 19.281006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446434020996094 y=0.622489929199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446434020996094 × 216)
    floor (0.446434020996094 × 65536)
    floor (29257.5)     		tx = 29257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622489929199219 × 216)
    floor (0.622489929199219 × 65536)
    floor (40795.5)     		ty = 40795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29257 / 40795 ti = "16/29257/40795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29257/40795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29257 ÷ 216
    29257 ÷ 65536     		x = 0.446426391601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40795 ÷ 216
    40795 ÷ 65536     		y = 0.622482299804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446426391601562 × 2 - 1) × π
    -0.107147216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33661291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622482299804688 × 2 - 1) × π
    -0.244964599609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.769578986500381
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33661291} λ = -0.33661291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.769578986500381))-π/2
    2×atan(0.463208044104327)-π/2
    2×0.433783288478609-π/2
    0.867566576957217-1.57079632675     		φ = -0.70322975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33661291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.286499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70322975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.292097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29257 KachelY 40795 -0.33661291 -0.70322975 -19.286499 -40.292097
    Oben rechts KachelX + 1 29258 KachelY 40795 -0.33651704 -0.70322975 -19.281006 -40.292097
    Unten links KachelX 29257 KachelY + 1 40796 -0.33661291 -0.70330288 -19.286499 -40.296287
    Unten rechts KachelX + 1 29258 KachelY + 1 40796 -0.33651704 -0.70330288 -19.281006 -40.296287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70322975--0.70330288) × R
    7.31299999999768e-05 × 6371000     		dl = 465.911229999852m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70322975--0.70330288) × R
    7.31299999999768e-05 × 6371000     		dr = 465.911229999852m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33661291--0.33651704) × cos(-0.70322975) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.762757539686486 × 6371000     		do = 465.882976715785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33661291--0.33651704) × cos(-0.70330288) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.762710245604166 × 6371000     		du = 465.854090068711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70322975)-sin(-0.70330288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.762757539686486-0.762710245604166)×R²
    abs(-0.33651704--0.33661291)×4.72940823199597e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72940823199597e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72940823199597e-05×40589641000000     		ar = 217053.381507994m²