Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29257 / 18758
↖ ↑ ↗
← N 60.743056°
W 19.286499°		 ← 298.51 m → N 60.743056°
W 19.281006°		 →
↑
298.55 m
↓
↑
298.55 m
↓
N 60.740371°
W 19.286499°		 ← 298.53 m →
89 122 m²		 N 60.740371°
W 19.281006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446434020996094 y=0.286231994628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446434020996094 × 216)
    floor (0.446434020996094 × 65536)
    floor (29257.5)     		tx = 29257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.286231994628906 × 216)
    floor (0.286231994628906 × 65536)
    floor (18758.5)     		ty = 18758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29257 / 18758 ti = "16/29257/18758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29257/18758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29257 ÷ 216
    29257 ÷ 65536     		x = 0.446426391601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18758 ÷ 216
    18758 ÷ 65536     		y = 0.286224365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446426391601562 × 2 - 1) × π
    -0.107147216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33661291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.286224365234375 × 2 - 1) × π
    0.42755126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.34319192735397
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33661291} λ = -0.33661291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34319192735397))-π/2
    2×atan(3.83125309048515)-π/2
    2×1.31548132234751-π/2
    2.63096264469501-1.57079632675     		φ = 1.06016632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33661291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.286499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06016632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.743056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29257 KachelY 18758 -0.33661291 1.06016632 -19.286499 60.743056
    Oben rechts KachelX + 1 29258 KachelY 18758 -0.33651704 1.06016632 -19.281006 60.743056
    Unten links KachelX 29257 KachelY + 1 18759 -0.33661291 1.06011946 -19.286499 60.740371
    Unten rechts KachelX + 1 29258 KachelY + 1 18759 -0.33651704 1.06011946 -19.281006 60.740371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06016632-1.06011946) × R
    4.68600000000929e-05 × 6371000     		dl = 298.545060000592m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06016632-1.06011946) × R
    4.68600000000929e-05 × 6371000     		dr = 298.545060000592m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33661291--0.33651704) × cos(1.06016632) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.488726984935699 × 6371000     		do = 298.508465267693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33661291--0.33651704) × cos(1.06011946) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.488767866786583 × 6371000     		du = 298.533435402228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06016632)-sin(1.06011946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.488726984935699-0.488767866786583)×R²
    abs(-0.33651704--0.33661291)×4.08818508838005e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.08818508838005e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.08818508838005e-05×40589641000000     		ar = 89121.9550455382m²