Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29257 / 18743
↖ ↑ ↗
← N 60.783300°
W 19.286499°		 ← 298.13 m → N 60.783300°
W 19.281006°		 →
↑
298.16 m
↓
↑
298.16 m
↓
N 60.780619°
W 19.286499°		 ← 298.16 m →
88 896 m²		 N 60.780619°
W 19.281006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446434020996094 y=0.286003112792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446434020996094 × 216)
    floor (0.446434020996094 × 65536)
    floor (29257.5)     		tx = 29257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.286003112792969 × 216)
    floor (0.286003112792969 × 65536)
    floor (18743.5)     		ty = 18743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29257 / 18743 ti = "16/29257/18743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29257/18743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29257 ÷ 216
    29257 ÷ 65536     		x = 0.446426391601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18743 ÷ 216
    18743 ÷ 65536     		y = 0.285995483398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446426391601562 × 2 - 1) × π
    -0.107147216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33661291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.285995483398438 × 2 - 1) × π
    0.428009033203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.34463003434257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33661291} λ = -0.33661291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34463003434257))-π/2
    2×atan(3.83676680603584)-π/2
    2×1.315832522802-π/2
    2.63166504560399-1.57079632675     		φ = 1.06086872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33661291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.286499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06086872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.783300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29257 KachelY 18743 -0.33661291 1.06086872 -19.286499 60.783300
    Oben rechts KachelX + 1 29258 KachelY 18743 -0.33651704 1.06086872 -19.281006 60.783300
    Unten links KachelX 29257 KachelY + 1 18744 -0.33661291 1.06082192 -19.286499 60.780619
    Unten rechts KachelX + 1 29258 KachelY + 1 18744 -0.33651704 1.06082192 -19.281006 60.780619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06086872-1.06082192) × R
    4.68000000000135e-05 × 6371000     		dl = 298.162800000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06086872-1.06082192) × R
    4.68000000000135e-05 × 6371000     		dr = 298.162800000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33661291--0.33651704) × cos(1.06086872) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.488114064831604 × 6371000     		do = 298.134101164124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33661291--0.33651704) × cos(1.06082192) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.488154910393842 × 6371000     		du = 298.159049133998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06086872)-sin(1.06082192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.488114064831604-0.488154910393842)×R²
    abs(-0.33651704--0.33661291)×4.08455622378789e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.08455622378789e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.08455622378789e-05×40589641000000     		ar = 88896.2176727483m²