Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29256 / 18757
↖ ↑ ↗
← N 60.745740°
W 19.291992°		 ← 298.48 m → N 60.745740°
W 19.286499°		 →
↑
298.48 m
↓
↑
298.48 m
↓
N 60.743056°
W 19.291992°		 ← 298.51 m →
89 095 m²		 N 60.743056°
W 19.286499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446418762207031 y=0.286216735839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446418762207031 × 216)
    floor (0.446418762207031 × 65536)
    floor (29256.5)     		tx = 29256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.286216735839844 × 216)
    floor (0.286216735839844 × 65536)
    floor (18757.5)     		ty = 18757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29256 / 18757 ti = "16/29256/18757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29256/18757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29256 ÷ 216
    29256 ÷ 65536     		x = 0.4464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18757 ÷ 216
    18757 ÷ 65536     		y = 0.286209106445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4464111328125 × 2 - 1) × π
    -0.107177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33670878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.286209106445312 × 2 - 1) × π
    0.427581787109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.34328780115321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33670878} λ = -0.33670878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34328780115321))-π/2
    2×atan(3.83162042488337)-π/2
    2×1.31550474942423-π/2
    2.63100949884845-1.57079632675     		φ = 1.06021317
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33670878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.291992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06021317 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.745740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29256 KachelY 18757 -0.33670878 1.06021317 -19.291992 60.745740
    Oben rechts KachelX + 1 29257 KachelY 18757 -0.33661291 1.06021317 -19.286499 60.745740
    Unten links KachelX 29256 KachelY + 1 18758 -0.33670878 1.06016632 -19.291992 60.743056
    Unten rechts KachelX + 1 29257 KachelY + 1 18758 -0.33661291 1.06016632 -19.286499 60.743056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06021317-1.06016632) × R
    4.68499999999317e-05 × 6371000     		dl = 298.481349999565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06021317-1.06016632) × R
    4.68499999999317e-05 × 6371000     		dr = 298.481349999565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33670878--0.33661291) × cos(1.06021317) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.488686110736237 × 6371000     		do = 298.483499806553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33670878--0.33661291) × cos(1.06016632) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.488726984935699 × 6371000     		du = 298.508465267693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06021317)-sin(1.06016632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.488686110736237-0.488726984935699)×R²
    abs(-0.33661291--0.33670878)×4.08741994627482e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.08741994627482e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.08741994627482e-05×40589641000000     		ar = 89095.4838535118m²