Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29255 / 18745
↖ ↑ ↗
← N 60.777937°
W 19.297486°		 ← 298.22 m → N 60.777937°
W 19.291992°		 →
↑
298.23 m
↓
↑
298.23 m
↓
N 60.775255°
W 19.297486°		 ← 298.24 m →
88 939 m²		 N 60.775255°
W 19.291992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446403503417969 y=0.286033630371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446403503417969 × 216)
    floor (0.446403503417969 × 65536)
    floor (29255.5)     		tx = 29255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.286033630371094 × 216)
    floor (0.286033630371094 × 65536)
    floor (18745.5)     		ty = 18745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29255 / 18745 ti = "16/29255/18745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29255/18745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29255 ÷ 216
    29255 ÷ 65536     		x = 0.446395874023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18745 ÷ 216
    18745 ÷ 65536     		y = 0.286026000976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446395874023438 × 2 - 1) × π
    -0.107208251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33680466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.286026000976562 × 2 - 1) × π
    0.427947998046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.34443828674409
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33680466} λ = -0.33680466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34443828674409))-π/2
    2×atan(3.83603118574382)-π/2
    2×1.31578572153604-π/2
    2.63157144307208-1.57079632675     		φ = 1.06077512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33680466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.297486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06077512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.777937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29255 KachelY 18745 -0.33680466 1.06077512 -19.297486 60.777937
    Oben rechts KachelX + 1 29256 KachelY 18745 -0.33670878 1.06077512 -19.291992 60.777937
    Unten links KachelX 29255 KachelY + 1 18746 -0.33680466 1.06072831 -19.297486 60.775255
    Unten rechts KachelX + 1 29256 KachelY + 1 18746 -0.33670878 1.06072831 -19.291992 60.775255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06077512-1.06072831) × R
    4.68099999999527e-05 × 6371000     		dl = 298.226509999699m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06077512-1.06072831) × R
    4.68099999999527e-05 × 6371000     		dr = 298.226509999699m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33680466--0.33670878) × cos(1.06077512) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.488195754886903 × 6371000     		do = 298.215099402359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33680466--0.33670878) × cos(1.06072831) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.488236607037812 × 6371000     		du = 298.240053999203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06077512)-sin(1.06072831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.488195754886903-0.488236607037812)×R²
    abs(-0.33670878--0.33680466)×4.08521509085991e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.08521509085991e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.08521509085991e-05×40589641000000     		ar = 88939.3694012904m²