Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29254 / 14222
↖ ↑ ↗
← N 70.819422°
W 19.302978°		 ← 200.67 m → N 70.819422°
W 19.297486°		 →
↑
200.69 m
↓
↑
200.69 m
↓
N 70.817617°
W 19.302978°		 ← 200.69 m →
40 274 m²		 N 70.817617°
W 19.297486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446388244628906 y=0.217018127441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446388244628906 × 216)
    floor (0.446388244628906 × 65536)
    floor (29254.5)     		tx = 29254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217018127441406 × 216)
    floor (0.217018127441406 × 65536)
    floor (14222.5)     		ty = 14222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29254 / 14222 ti = "16/29254/14222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29254/14222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29254 ÷ 216
    29254 ÷ 65536     		x = 0.446380615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14222 ÷ 216
    14222 ÷ 65536     		y = 0.217010498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446380615234375 × 2 - 1) × π
    -0.10723876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33690053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217010498046875 × 2 - 1) × π
    0.56597900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.77807548070712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33690053} λ = -0.33690053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77807548070712))-π/2
    2×atan(5.91845526989383)-π/2
    2×1.40341420757014-π/2
    2.80682841514027-1.57079632675     		φ = 1.23603209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33690053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.302978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23603209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.819422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29254 KachelY 14222 -0.33690053 1.23603209 -19.302978 70.819422
    Oben rechts KachelX + 1 29255 KachelY 14222 -0.33680466 1.23603209 -19.297486 70.819422
    Unten links KachelX 29254 KachelY + 1 14223 -0.33690053 1.23600059 -19.302978 70.817617
    Unten rechts KachelX + 1 29255 KachelY + 1 14223 -0.33680466 1.23600059 -19.297486 70.817617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23603209-1.23600059) × R
    3.14999999999621e-05 × 6371000     		dl = 200.686499999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23603209-1.23600059) × R
    3.14999999999621e-05 × 6371000     		dr = 200.686499999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33690053--0.33680466) × cos(1.23603209) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.328546503537234 × 6371000     		do = 200.6721862368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33690053--0.33680466) × cos(1.23600059) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.328576254739773 × 6371000     		du = 200.690357907454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23603209)-sin(1.23600059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328546503537234-0.328576254739773)×R²
    abs(-0.33680466--0.33690053)×2.97512025392299e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.97512025392299e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.97512025392299e-05×40589641000000     		ar = 40274.0221110037m²