Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29254 / 14201
↖ ↑ ↗
← N 70.857286°
W 19.302978°		 ← 200.29 m → N 70.857286°
W 19.297486°		 →
↑
200.30 m
↓
↑
200.30 m
↓
N 70.855485°
W 19.302978°		 ← 200.31 m →
40 121 m²		 N 70.855485°
W 19.297486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446388244628906 y=0.216697692871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446388244628906 × 216)
    floor (0.446388244628906 × 65536)
    floor (29254.5)     		tx = 29254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216697692871094 × 216)
    floor (0.216697692871094 × 65536)
    floor (14201.5)     		ty = 14201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29254 / 14201 ti = "16/29254/14201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29254/14201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29254 ÷ 216
    29254 ÷ 65536     		x = 0.446380615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14201 ÷ 216
    14201 ÷ 65536     		y = 0.216690063476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446380615234375 × 2 - 1) × π
    -0.10723876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33690053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216690063476562 × 2 - 1) × π
    0.566619873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.78008883049117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33690053} λ = -0.33690053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78008883049117))-π/2
    2×atan(5.93038319404586)-π/2
    2×1.40374463279831-π/2
    2.80748926559663-1.57079632675     		φ = 1.23669294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33690053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.302978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23669294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.857286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29254 KachelY 14201 -0.33690053 1.23669294 -19.302978 70.857286
    Oben rechts KachelX + 1 29255 KachelY 14201 -0.33680466 1.23669294 -19.297486 70.857286
    Unten links KachelX 29254 KachelY + 1 14202 -0.33690053 1.23666150 -19.302978 70.855485
    Unten rechts KachelX + 1 29255 KachelY + 1 14202 -0.33680466 1.23666150 -19.297486 70.855485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23669294-1.23666150) × R
    3.14399999998827e-05 × 6371000     		dl = 200.304239999253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23669294-1.23666150) × R
    3.14399999998827e-05 × 6371000     		dr = 200.304239999253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33690053--0.33680466) × cos(1.23669294) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.327922267081442 × 6371000     		do = 200.290910244014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33690053--0.33680466) × cos(1.23666150) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.327951968435409 × 6371000     		du = 200.30905146777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23669294)-sin(1.23666150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327922267081442-0.327951968435409)×R²
    abs(-0.33680466--0.33690053)×2.97013539671265e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.97013539671265e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.97013539671265e-05×40589641000000     		ar = 40120.9354405851m²