Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29253 / 18021
↖ ↑ ↗
← N 62.661533°
W 19.308471°		 ← 280.50 m → N 62.661533°
W 19.302978°		 →
↑
280.58 m
↓
↑
280.58 m
↓
N 62.659009°
W 19.308471°		 ← 280.53 m →
78 706 m²		 N 62.659009°
W 19.302978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446372985839844 y=0.274986267089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446372985839844 × 216)
    floor (0.446372985839844 × 65536)
    floor (29253.5)     		tx = 29253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274986267089844 × 216)
    floor (0.274986267089844 × 65536)
    floor (18021.5)     		ty = 18021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29253 / 18021 ti = "16/29253/18021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29253/18021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29253 ÷ 216
    29253 ÷ 65536     		x = 0.446365356445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18021 ÷ 216
    18021 ÷ 65536     		y = 0.274978637695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446365356445312 × 2 - 1) × π
    -0.107269287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33699640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274978637695312 × 2 - 1) × π
    0.450042724609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.41385091739394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33699640} λ = -0.33699640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41385091739394))-π/2
    2×atan(4.11175899962197)-π/2
    2×1.33222319129506-π/2
    2.66444638259011-1.57079632675     		φ = 1.09365006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33699640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.308471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09365006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.661533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29253 KachelY 18021 -0.33699640 1.09365006 -19.308471 62.661533
    Oben rechts KachelX + 1 29254 KachelY 18021 -0.33690053 1.09365006 -19.302978 62.661533
    Unten links KachelX 29253 KachelY + 1 18022 -0.33699640 1.09360602 -19.308471 62.659009
    Unten rechts KachelX + 1 29254 KachelY + 1 18022 -0.33690053 1.09360602 -19.302978 62.659009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09365006-1.09360602) × R
    4.4040000000134e-05 × 6371000     		dl = 280.578840000854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09365006-1.09360602) × R
    4.4040000000134e-05 × 6371000     		dr = 280.578840000854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33699640--0.33690053) × cos(1.09365006) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.459246051797466 × 6371000     		do = 280.501871858673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33699640--0.33690053) × cos(1.09360602) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.459285172485027 × 6371000     		du = 280.525766296189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09365006)-sin(1.09360602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459246051797466-0.459285172485027)×R²
    abs(-0.33690053--0.33699640)×3.91206875604011e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.91206875604011e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.91206875604011e-05×40589641000000     		ar = 78706.2419736435m²