Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29252 / 19559
↖ ↑ ↗
← N 58.519521°
W 19.313965°		 ← 318.99 m → N 58.519521°
W 19.308471°		 →
↑
319 m
↓
↑
319 m
↓
N 58.516652°
W 19.313965°		 ← 319.02 m →
101 761 m²		 N 58.516652°
W 19.308471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446357727050781 y=0.298454284667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446357727050781 × 216)
    floor (0.446357727050781 × 65536)
    floor (29252.5)     		tx = 29252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298454284667969 × 216)
    floor (0.298454284667969 × 65536)
    floor (19559.5)     		ty = 19559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29252 / 19559 ti = "16/29252/19559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29252/19559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29252 ÷ 216
    29252 ÷ 65536     		x = 0.44635009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19559 ÷ 216
    19559 ÷ 65536     		y = 0.298446655273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44635009765625 × 2 - 1) × π
    -0.1072998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33709228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298446655273438 × 2 - 1) × π
    0.403106689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.26639701416264
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33709228} λ = -0.33709228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26639701416264))-π/2
    2×atan(3.54804594588741)-π/2
    2×1.2960773180169-π/2
    2.5921546360338-1.57079632675     		φ = 1.02135831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33709228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.313965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02135831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.519521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29252 KachelY 19559 -0.33709228 1.02135831 -19.313965 58.519521
    Oben rechts KachelX + 1 29253 KachelY 19559 -0.33699640 1.02135831 -19.308471 58.519521
    Unten links KachelX 29252 KachelY + 1 19560 -0.33709228 1.02130824 -19.313965 58.516652
    Unten rechts KachelX + 1 29253 KachelY + 1 19560 -0.33699640 1.02130824 -19.308471 58.516652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02135831-1.02130824) × R
    5.00700000001242e-05 × 6371000     		dl = 318.995970000791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02135831-1.02130824) × R
    5.00700000001242e-05 × 6371000     		dr = 318.995970000791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33709228--0.33699640) × cos(1.02135831) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.522208041953665 × 6371000     		do = 318.991555295458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33709228--0.33699640) × cos(1.02130824) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.52225074190277 × 6371000     		du = 319.017638622565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02135831)-sin(1.02130824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.522208041953665-0.52225074190277)×R²
    abs(-0.33699640--0.33709228)×4.26999491054403e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.26999491054403e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.26999491054403e-05×40589641000000     		ar = 101761.180862886m²