Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29252 / 19550
↖ ↑ ↗
← N 58.545328°
W 19.313965°		 ← 318.76 m → N 58.545328°
W 19.308471°		 →
↑
318.74 m
↓
↑
318.74 m
↓
N 58.542462°
W 19.313965°		 ← 318.78 m →
101 605 m²		 N 58.542462°
W 19.308471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446357727050781 y=0.298316955566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446357727050781 × 216)
    floor (0.446357727050781 × 65536)
    floor (29252.5)     		tx = 29252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298316955566406 × 216)
    floor (0.298316955566406 × 65536)
    floor (19550.5)     		ty = 19550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29252 / 19550 ti = "16/29252/19550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29252/19550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29252 ÷ 216
    29252 ÷ 65536     		x = 0.44635009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19550 ÷ 216
    19550 ÷ 65536     		y = 0.298309326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44635009765625 × 2 - 1) × π
    -0.1072998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33709228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298309326171875 × 2 - 1) × π
    0.40338134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.2672598783558
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33709228} λ = -0.33709228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2672598783558))-π/2
    2×atan(3.5511087488913)-π/2
    2×1.29630253244594-π/2
    2.59260506489189-1.57079632675     		φ = 1.02180874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33709228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.313965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02180874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.545328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29252 KachelY 19550 -0.33709228 1.02180874 -19.313965 58.545328
    Oben rechts KachelX + 1 29253 KachelY 19550 -0.33699640 1.02180874 -19.308471 58.545328
    Unten links KachelX 29252 KachelY + 1 19551 -0.33709228 1.02175871 -19.313965 58.542462
    Unten rechts KachelX + 1 29253 KachelY + 1 19551 -0.33699640 1.02175871 -19.308471 58.542462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02180874-1.02175871) × R
    5.00299999999232e-05 × 6371000     		dl = 318.741129999511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02180874-1.02175871) × R
    5.00299999999232e-05 × 6371000     		dr = 318.741129999511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33709228--0.33699640) × cos(1.02180874) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.521823854122211 × 6371000     		do = 318.756873590017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33709228--0.33699640) × cos(1.02175871) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.521866531723754 × 6371000     		du = 318.782943266082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02180874)-sin(1.02175871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521823854122211-0.521866531723754)×R²
    abs(-0.33699640--0.33709228)×4.2677601542751e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.2677601542751e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.2677601542751e-05×40589641000000     		ar = 101605.080843401m²