Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29251 / 43069
↖ ↑ ↗
← S 49.142190°
W 19.319458°		 ← 399.57 m → S 49.142190°
W 19.313965°		 →
↑
399.59 m
↓
↑
399.59 m
↓
S 49.145784°
W 19.319458°		 ← 399.54 m →
159 657 m²		 S 49.145784°
W 19.313965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446342468261719 y=0.657188415527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446342468261719 × 216)
    floor (0.446342468261719 × 65536)
    floor (29251.5)     		tx = 29251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657188415527344 × 216)
    floor (0.657188415527344 × 65536)
    floor (43069.5)     		ty = 43069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29251 / 43069 ti = "16/29251/43069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29251/43069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29251 ÷ 216
    29251 ÷ 65536     		x = 0.446334838867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43069 ÷ 216
    43069 ÷ 65536     		y = 0.657180786132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446334838867188 × 2 - 1) × π
    -0.107330322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33718815
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657180786132812 × 2 - 1) × π
    -0.314361572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.987596005972397
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33718815} λ = -0.33718815}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.987596005972397))-π/2
    2×atan(0.372471033734615)-π/2
    2×0.356551653023988-π/2
    0.713103306047976-1.57079632675     		φ = -0.85769302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33718815} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.319458°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85769302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.142190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29251 KachelY 43069 -0.33718815 -0.85769302 -19.319458 -49.142190
    Oben rechts KachelX + 1 29252 KachelY 43069 -0.33709228 -0.85769302 -19.313965 -49.142190
    Unten links KachelX 29251 KachelY + 1 43070 -0.33718815 -0.85775574 -19.319458 -49.145784
    Unten rechts KachelX + 1 29252 KachelY + 1 43070 -0.33709228 -0.85775574 -19.313965 -49.145784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85769302--0.85775574) × R
    6.27199999999606e-05 × 6371000     		dl = 399.589119999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85769302--0.85775574) × R
    6.27199999999606e-05 × 6371000     		dr = 399.589119999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33718815--0.33709228) × cos(-0.85769302) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.65418405806253 × 6371000     		do = 399.567621993555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33718815--0.33709228) × cos(-0.85775574) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.654136619420352 × 6371000     		du = 399.538647051087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85769302)-sin(-0.85775574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65418405806253-0.654136619420352)×R²
    abs(-0.33709228--0.33718815)×4.74386421783768e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74386421783768e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74386421783768e-05×40589641000000     		ar = 159657.085469293m²