Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29250 / 40762
↖ ↑ ↗
← S 40.153687°
W 19.324951°		 ← 466.88 m → S 40.153687°
W 19.319458°		 →
↑
466.87 m
↓
↑
466.87 m
↓
S 40.157885°
W 19.324951°		 ← 466.86 m →
217 966 m²		 S 40.157885°
W 19.319458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446327209472656 y=0.621986389160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446327209472656 × 216)
    floor (0.446327209472656 × 65536)
    floor (29250.5)     		tx = 29250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621986389160156 × 216)
    floor (0.621986389160156 × 65536)
    floor (40762.5)     		ty = 40762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29250 / 40762 ti = "16/29250/40762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29250/40762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29250 ÷ 216
    29250 ÷ 65536     		x = 0.446319580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40762 ÷ 216
    40762 ÷ 65536     		y = 0.621978759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446319580078125 × 2 - 1) × π
    -0.10736083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33728403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621978759765625 × 2 - 1) × π
    -0.24395751953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.766415151125458
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33728403} λ = -0.33728403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.766415151125458))-π/2
    2×atan(0.46467587886959)-π/2
    2×0.434991142164179-π/2
    0.869982284328357-1.57079632675     		φ = -0.70081404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33728403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.324951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70081404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.153687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29250 KachelY 40762 -0.33728403 -0.70081404 -19.324951 -40.153687
    Oben rechts KachelX + 1 29251 KachelY 40762 -0.33718815 -0.70081404 -19.319458 -40.153687
    Unten links KachelX 29250 KachelY + 1 40763 -0.33728403 -0.70088732 -19.324951 -40.157885
    Unten rechts KachelX + 1 29251 KachelY + 1 40763 -0.33718815 -0.70088732 -19.319458 -40.157885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70081404--0.70088732) × R
    7.32799999999534e-05 × 6371000     		dl = 466.866879999703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70081404--0.70088732) × R
    7.32799999999534e-05 × 6371000     		dr = 466.866879999703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33728403--0.33718815) × cos(-0.70081404) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.764317514960711 × 6371000     		do = 466.884485203637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33728403--0.33718815) × cos(-0.70088732) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.764270259027086 × 6371000     		du = 466.855618846643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70081404)-sin(-0.70088732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764317514960711-0.764270259027086)×R²
    abs(-0.33718815--0.33728403)×4.72559336257561e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.72559336257561e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.72559336257561e-05×40589641000000     		ar = 217966.164651788m²