Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29249 / 19007
↖ ↑ ↗
← N 77.730866°
W 99.665222°		 ← 64.90 m → N 77.730866°
W 99.662476°		 →
↑
64.86 m
↓
↑
64.86 m
↓
N 77.730283°
W 99.665222°		 ← 64.91 m →
4 210 m²		 N 77.730283°
W 99.662476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.223155975341797 y=0.145015716552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.223155975341797 × 217)
    floor (0.223155975341797 × 131072)
    floor (29249.5)     		tx = 29249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145015716552734 × 217)
    floor (0.145015716552734 × 131072)
    floor (19007.5)     		ty = 19007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29249 / 19007 ti = "17/29249/19007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29249/19007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29249 ÷ 217
    29249 ÷ 131072     		x = 0.223152160644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19007 ÷ 217
    19007 ÷ 131072     		y = 0.145011901855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.223152160644531 × 2 - 1) × π
    -0.553695678710938 × 3.1415926535     		Λ = -1.73948628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145011901855469 × 2 - 1) × π
    0.709976196289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.23045600242159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73948628} λ = -1.73948628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23045600242159))-π/2
    2×atan(9.30410780798205)-π/2
    2×1.46372793469289-π/2
    2.92745586938579-1.57079632675     		φ = 1.35665954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73948628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.665222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35665954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.730866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29249 KachelY 19007 -1.73948628 1.35665954 -99.665222 77.730866
    Oben rechts KachelX + 1 29250 KachelY 19007 -1.73943834 1.35665954 -99.662476 77.730866
    Unten links KachelX 29249 KachelY + 1 19008 -1.73948628 1.35664936 -99.665222 77.730283
    Unten rechts KachelX + 1 29250 KachelY + 1 19008 -1.73943834 1.35664936 -99.662476 77.730283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35665954-1.35664936) × R
    1.01800000000818e-05 × 6371000     		dl = 64.8567800005211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35665954-1.35664936) × R
    1.01800000000818e-05 × 6371000     		dr = 64.8567800005211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73948628--1.73943834) × cos(1.35665954) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212504009994432 × 6371000     		do = 64.9041945054742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73948628--1.73943834) × cos(1.35664936) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212513957474201 × 6371000     		du = 64.9072327218438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35665954)-sin(1.35664936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212504009994432-0.212513957474201)×R²
    abs(-1.73943834--1.73948628)×9.94747976887367e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.94747976887367e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.94747976887367e-06×40589641000000     		ar = 4209.57558859269m²