Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29247 / 14784
↖ ↑ ↗
← N 69.778952°
W 19.341431°		 ← 211.14 m → N 69.778952°
W 19.335937°		 →
↑
211.13 m
↓
↑
211.13 m
↓
N 69.777053°
W 19.341431°		 ← 211.16 m →
44 580 m²		 N 69.777053°
W 19.335937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446281433105469 y=0.225593566894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446281433105469 × 216)
    floor (0.446281433105469 × 65536)
    floor (29247.5)     		tx = 29247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225593566894531 × 216)
    floor (0.225593566894531 × 65536)
    floor (14784.5)     		ty = 14784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29247 / 14784 ti = "16/29247/14784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29247/14784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29247 ÷ 216
    29247 ÷ 65536     		x = 0.446273803710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14784 ÷ 216
    14784 ÷ 65536     		y = 0.2255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446273803710938 × 2 - 1) × π
    -0.107452392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33757165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2255859375 × 2 - 1) × π
    0.548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.72419440553418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33757165} λ = -0.33757165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72419440553418))-π/2
    2×atan(5.60800143453719)-π/2
    2×1.39433439193378-π/2
    2.78866878386757-1.57079632675     		φ = 1.21787246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33757165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.341431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21787246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.778952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29247 KachelY 14784 -0.33757165 1.21787246 -19.341431 69.778952
    Oben rechts KachelX + 1 29248 KachelY 14784 -0.33747577 1.21787246 -19.335937 69.778952
    Unten links KachelX 29247 KachelY + 1 14785 -0.33757165 1.21783932 -19.341431 69.777053
    Unten rechts KachelX + 1 29248 KachelY + 1 14785 -0.33747577 1.21783932 -19.335937 69.777053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21787246-1.21783932) × R
    3.31399999999871e-05 × 6371000     		dl = 211.134939999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21787246-1.21783932) × R
    3.31399999999871e-05 × 6371000     		dr = 211.134939999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33757165--0.33747577) × cos(1.21787246) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.345642938510007 × 6371000     		do = 211.136500540371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33757165--0.33747577) × cos(1.21783932) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.345674035773131 × 6371000     		du = 211.155496349574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21787246)-sin(1.21783932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345642938510007-0.345674035773131)×R²
    abs(-0.33747577--0.33757165)×3.10972631238915e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.10972631238915e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.10972631238915e-05×40589641000000     		ar = 44580.2977171919m²