Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29246 / 18001
↖ ↑ ↗
← N 62.711944°
W 19.346924°		 ← 280.02 m → N 62.711944°
W 19.341431°		 →
↑
280.07 m
↓
↑
280.07 m
↓
N 62.709425°
W 19.346924°		 ← 280.05 m →
78 430 m²		 N 62.709425°
W 19.341431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446266174316406 y=0.274681091308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446266174316406 × 216)
    floor (0.446266174316406 × 65536)
    floor (29246.5)     		tx = 29246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274681091308594 × 216)
    floor (0.274681091308594 × 65536)
    floor (18001.5)     		ty = 18001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29246 / 18001 ti = "16/29246/18001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29246/18001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29246 ÷ 216
    29246 ÷ 65536     		x = 0.446258544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18001 ÷ 216
    18001 ÷ 65536     		y = 0.274673461914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446258544921875 × 2 - 1) × π
    -0.10748291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33766752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274673461914062 × 2 - 1) × π
    0.450653076171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.41576839337874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33766752} λ = -0.33766752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41576839337874))-π/2
    2×atan(4.11965076247393)-π/2
    2×1.33266311311125-π/2
    2.66532622622249-1.57079632675     		φ = 1.09452990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33766752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.346924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09452990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.711944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29246 KachelY 18001 -0.33766752 1.09452990 -19.346924 62.711944
    Oben rechts KachelX + 1 29247 KachelY 18001 -0.33757165 1.09452990 -19.341431 62.711944
    Unten links KachelX 29246 KachelY + 1 18002 -0.33766752 1.09448594 -19.346924 62.709425
    Unten rechts KachelX + 1 29247 KachelY + 1 18002 -0.33757165 1.09448594 -19.341431 62.709425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09452990-1.09448594) × R
    4.3959999999954e-05 × 6371000     		dl = 280.069159999707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09452990-1.09448594) × R
    4.3959999999954e-05 × 6371000     		dr = 280.069159999707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33766752--0.33757165) × cos(1.09452990) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.458464304261006 × 6371000     		do = 280.024390024175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33766752--0.33757165) × cos(1.09448594) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.458503371633705 × 6371000     		du = 280.048251897626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09452990)-sin(1.09448594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458464304261006-0.458503371633705)×R²
    abs(-0.33757165--0.33766752)×3.90673726984314e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.90673726984314e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.90673726984314e-05×40589641000000     		ar = 78429.5371933871m²