Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29245 / 14194
↖ ↑ ↗
← N 70.869891°
W 19.352417°		 ← 200.16 m → N 70.869891°
W 19.346924°		 →
↑
200.18 m
↓
↑
200.18 m
↓
N 70.868091°
W 19.352417°		 ← 200.18 m →
40 070 m²		 N 70.868091°
W 19.346924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446250915527344 y=0.216590881347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446250915527344 × 216)
    floor (0.446250915527344 × 65536)
    floor (29245.5)     		tx = 29245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216590881347656 × 216)
    floor (0.216590881347656 × 65536)
    floor (14194.5)     		ty = 14194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29245 / 14194 ti = "16/29245/14194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29245/14194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29245 ÷ 216
    29245 ÷ 65536     		x = 0.446243286132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14194 ÷ 216
    14194 ÷ 65536     		y = 0.216583251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446243286132812 × 2 - 1) × π
    -0.107513427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33776339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216583251953125 × 2 - 1) × π
    0.56683349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.78075994708585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33776339} λ = -0.33776339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78075994708585))-π/2
    2×atan(5.93436450843385)-π/2
    2×1.40385463496065-π/2
    2.8077092699213-1.57079632675     		φ = 1.23691294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33776339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.352417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23691294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.869891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29245 KachelY 14194 -0.33776339 1.23691294 -19.352417 70.869891
    Oben rechts KachelX + 1 29246 KachelY 14194 -0.33766752 1.23691294 -19.346924 70.869891
    Unten links KachelX 29245 KachelY + 1 14195 -0.33776339 1.23688152 -19.352417 70.868091
    Unten rechts KachelX + 1 29246 KachelY + 1 14195 -0.33766752 1.23688152 -19.346924 70.868091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23691294-1.23688152) × R
    3.14200000000042e-05 × 6371000     		dl = 200.176820000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23691294-1.23688152) × R
    3.14200000000042e-05 × 6371000     		dr = 200.176820000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33776339--0.33766752) × cos(1.23691294) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.327714424111472 × 6371000     		do = 200.163962299876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33776339--0.33766752) × cos(1.23688152) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.327744108837666 × 6371000     		du = 200.182093367591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23691294)-sin(1.23688152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327714424111472-0.327744108837666)×R²
    abs(-0.33766752--0.33776339)×2.96847261933575e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.96847261933575e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.96847261933575e-05×40589641000000     		ar = 40070.0001644934m²