Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29244 / 18142
↖ ↑ ↗
← N 62.354708°
W 19.357910°		 ← 283.43 m → N 62.354708°
W 19.352417°		 →
↑
283.45 m
↓
↑
283.45 m
↓
N 62.352158°
W 19.357910°		 ← 283.46 m →
80 341 m²		 N 62.352158°
W 19.352417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446235656738281 y=0.276832580566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446235656738281 × 216)
    floor (0.446235656738281 × 65536)
    floor (29244.5)     		tx = 29244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276832580566406 × 216)
    floor (0.276832580566406 × 65536)
    floor (18142.5)     		ty = 18142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29244 / 18142 ti = "16/29244/18142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29244/18142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29244 ÷ 216
    29244 ÷ 65536     		x = 0.44622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18142 ÷ 216
    18142 ÷ 65536     		y = 0.276824951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44622802734375 × 2 - 1) × π
    -0.1075439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33785927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276824951171875 × 2 - 1) × π
    0.44635009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.40225018768588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33785927} λ = -0.33785927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40225018768588))-π/2
    2×atan(4.06433520201614)-π/2
    2×1.32954563686463-π/2
    2.65909127372925-1.57079632675     		φ = 1.08829495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33785927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.357910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08829495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.354708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29244 KachelY 18142 -0.33785927 1.08829495 -19.357910 62.354708
    Oben rechts KachelX + 1 29245 KachelY 18142 -0.33776339 1.08829495 -19.352417 62.354708
    Unten links KachelX 29244 KachelY + 1 18143 -0.33785927 1.08825046 -19.357910 62.352158
    Unten rechts KachelX + 1 29245 KachelY + 1 18143 -0.33776339 1.08825046 -19.352417 62.352158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08829495-1.08825046) × R
    4.44900000000636e-05 × 6371000     		dl = 283.445790000406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08829495-1.08825046) × R
    4.44900000000636e-05 × 6371000     		dr = 283.445790000406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33785927--0.33776339) × cos(1.08829495) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.463996437095768 × 6371000     		do = 283.432910314655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33785927--0.33776339) × cos(1.08825046) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.464035847527585 × 6371000     		du = 283.456984235258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08829495)-sin(1.08825046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463996437095768-0.464035847527585)×R²
    abs(-0.33776339--0.33785927)×3.9410431816822e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.9410431816822e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.9410431816822e-05×40589641000000     		ar = 80341.2770153961m²