Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29243 / 18109
↖ ↑ ↗
← N 62.438700°
W 19.363403°		 ← 282.61 m → N 62.438700°
W 19.357910°		 →
↑
282.62 m
↓
↑
282.62 m
↓
N 62.436159°
W 19.363403°		 ← 282.63 m →
79 874 m²		 N 62.436159°
W 19.357910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446220397949219 y=0.276329040527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446220397949219 × 216)
    floor (0.446220397949219 × 65536)
    floor (29243.5)     		tx = 29243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276329040527344 × 216)
    floor (0.276329040527344 × 65536)
    floor (18109.5)     		ty = 18109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29243 / 18109 ti = "16/29243/18109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29243/18109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29243 ÷ 216
    29243 ÷ 65536     		x = 0.446212768554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18109 ÷ 216
    18109 ÷ 65536     		y = 0.276321411132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446212768554688 × 2 - 1) × π
    -0.107574462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33795514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276321411132812 × 2 - 1) × π
    0.447357177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.40541402306081
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33795514} λ = -0.33795514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40541402306081))-π/2
    2×atan(4.07721445267496)-π/2
    2×1.33027861316151-π/2
    2.66055722632301-1.57079632675     		φ = 1.08976090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33795514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.363403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08976090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.438700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29243 KachelY 18109 -0.33795514 1.08976090 -19.363403 62.438700
    Oben rechts KachelX + 1 29244 KachelY 18109 -0.33785927 1.08976090 -19.357910 62.438700
    Unten links KachelX 29243 KachelY + 1 18110 -0.33795514 1.08971654 -19.363403 62.436159
    Unten rechts KachelX + 1 29244 KachelY + 1 18110 -0.33785927 1.08971654 -19.357910 62.436159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08976090-1.08971654) × R
    4.43599999999655e-05 × 6371000     		dl = 282.61755999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08976090-1.08971654) × R
    4.43599999999655e-05 × 6371000     		dr = 282.61755999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33795514--0.33785927) × cos(1.08976090) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.462697346148657 × 6371000     		do = 282.60988023905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33795514--0.33785927) × cos(1.08971654) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.462736671556855 × 6371000     		du = 282.633899717428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08976090)-sin(1.08971654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462697346148657-0.462736671556855)×R²
    abs(-0.33785927--0.33795514)×3.93254081977878e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.93254081977878e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.93254081977878e-05×40589641000000     		ar = 79873.9089612055m²