Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29242 / 18104
↖ ↑ ↗
← N 62.451406°
W 19.368897°		 ← 282.52 m → N 62.451406°
W 19.363403°		 →
↑
282.55 m
↓
↑
282.55 m
↓
N 62.448865°
W 19.368897°		 ← 282.54 m →
79 830 m²		 N 62.448865°
W 19.363403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446205139160156 y=0.276252746582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446205139160156 × 216)
    floor (0.446205139160156 × 65536)
    floor (29242.5)     		tx = 29242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276252746582031 × 216)
    floor (0.276252746582031 × 65536)
    floor (18104.5)     		ty = 18104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29242 / 18104 ti = "16/29242/18104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29242/18104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29242 ÷ 216
    29242 ÷ 65536     		x = 0.446197509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18104 ÷ 216
    18104 ÷ 65536     		y = 0.2762451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446197509765625 × 2 - 1) × π
    -0.10760498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33805102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2762451171875 × 2 - 1) × π
    0.447509765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.40589339205701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33805102} λ = -0.33805102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40589339205701))-π/2
    2×atan(4.0791694114103)-π/2
    2×1.33038949098043-π/2
    2.66077898196085-1.57079632675     		φ = 1.08998266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33805102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.368897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08998266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.451406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29242 KachelY 18104 -0.33805102 1.08998266 -19.368897 62.451406
    Oben rechts KachelX + 1 29243 KachelY 18104 -0.33795514 1.08998266 -19.363403 62.451406
    Unten links KachelX 29242 KachelY + 1 18105 -0.33805102 1.08993831 -19.368897 62.448865
    Unten rechts KachelX + 1 29243 KachelY + 1 18105 -0.33795514 1.08993831 -19.363403 62.448865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08998266-1.08993831) × R
    4.43500000000263e-05 × 6371000     		dl = 282.553850000168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08998266-1.08993831) × R
    4.43500000000263e-05 × 6371000     		dr = 282.553850000168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33805102--0.33795514) × cos(1.08998266) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.462500740916468 × 6371000     		do = 282.519262089899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33805102--0.33795514) × cos(1.08993831) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.462540062009588 × 6371000     		du = 282.543281437827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08998266)-sin(1.08993831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462500740916468-0.462540062009588)×R²
    abs(-0.33795514--0.33805102)×3.93210931208254e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.93210931208254e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.93210931208254e-05×40589641000000     		ar = 79830.2985955711m²